2014　兵庫県立大学　中期MathJax

2014-11613-0201

2014　兵庫県立大学　中期

理学部

易□　並□　難□

【１】　 $f (x) = 2 \sin 2 x - \sin x$ とする．定積分 $\int_{0}^{π} | f (x) | d x$ の値を求めよ．

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【２】　座標平面において直線 $y = \sqrt{3} x$ を $l_{1} ， x$ 軸を $l_{2}$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　中心が第 $1$ 象限にあり， $l_{1}$ と $l_{2}$ に接する円について考える．中心の座標を $(a, b) ，$ 半径を $r$ とするとき， $a$ と $b$ を $r$ で表せ．

(2)　中心が第 $1$ 象限にあり， $l_{1}$ と $l_{2}$ に接する半径 $1$ の円を $C_{1}$ とする．中心が第 $1$ 象限にあり， $l_{1} ， l_{2} ， C_{1}$ に接する円の半径をすべて求めよ．

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【３】　不等式 $\sin x + \sin y ≦ \cos \frac{x - y}{2}$ が成り立つ点 $(x, y)$ の範囲を図示せよ．ただし $0 < x < π ， 0 < y < π$ とする．

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【４】　微分可能な関数 $f (x)$ が $f (x) = \int_{0}^{x} \sqrt{{f (t)}^{2} + 1} d t$ を満たすとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　 $f^{'} (x)$ と $f^{″} (x)$ を $f (x)$ で表せ．

(2)　関数 $\log (f (x) + f^{'} (x))$ を求めよ．

(3)　 $f (x)$ を求めよ．

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【５】　サイコロを続けて $5$ 回ふり，出た目を順に $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4} ， a_{5}$ とする．また $1 ≦ n ≦ 5$ をみたす自然数 $n$ に対し $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ とおき， $S_{n} ≧ 5$ となる最初の $n$ を $N$ とする．例えば $S_{2} < 5 ≦ S_{3}$ ならば $N = 3$ である． $N = k$ となる確率を $P (k)$ とするとき， $P (1) ， P (2) ， P (3) ， P (4) ， P (5)$ を求めよ．