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2014-11701-0101
2014 岡山県立大学 前期
情報工学部
配点75点
易□ 並□ 難□
【1】 AB=2 , BC= 5 ,CA =1 である三角形 ABC において,点 A から直線 BC におろした垂線の足を H , 辺 AC の中点を M , 直線 AH と直線 BM の交点を P とする.次の問いに答えよ.
(1) 内積 AB→ ⋅AC→ の値を求めよ.
(2) AP→ を AB → と AC → で表せ.
(3) 三角形 ABP の面積を求めよ.
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【2】 次の問いに答えよ.
(1) 行列 A =( ab cd ) と単位行列 E , 零行列 O に対して,等式
A2- (a+ b)⁢ A+( a⁢d- b⁢c) ⁢E=O
が成り立つことを示せ.
(2) 行列 B =( 13 +1 3- 12 ) と自然数 n に対して,
B+2⁢ B2+ 3⁢B3 +⋯+ n⁢Bn =bn ⁢B
を満たす実数 b n を求めよ.
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【3】〔1〕 体積が V , 表面積が S , 底面の半径が r の円柱を考える.
(1) S を V と r で表せ.
(2) V の値を一定にするとき, S の最小値とそれを与える r の値を求めよ.
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〔1〕,〔2〕で配点75点
【3】〔2〕 x>0 のとき log ⁡(1 +x) >x- x 22 であることを示せ.
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【4】 f⁡( x)= ∫ xx+1 t⋅ |t |⁢ dt とする.以下の問いに答えよ.
(1) f⁡( 0) と f ⁡(- 1) を求めよ.
(2) f′⁡ (x ) を求めよ.
(3) f⁡( x) を求めよ.
(4) 座標平面において曲線 y =f⁡( x) と直線 y =f⁡( -1) で囲まれる部分のうち, -2≦ x≦-1 の範囲の面積を S1 ,-1 ≦x≦0 の範囲の面積を S2 ,0 ≦x≦1 の範囲の面積を S 3 とする. S1 , S2 , S3 を求めよ.