2014　岡山県立大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{5}\text{，}\mathrm{CA}=1$である三角形$\mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$におろした垂線の足を$\mathrm{H}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表せ．

(3)　三角形$\mathrm{ABP}$の面積を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$と単位行列$E\text{，}$零行列$O$に対して，等式

$A^2-(a+b)A+(ad-bc)E=O$

が成り立つことを示せ．

(2)　行列$B=\left(\begin{array}{cc}1& \sqrt{3}+1\\ \sqrt{3}-1& 2\end{array}\right)$と自然数$n$に対して，

$B+2B^2+3B^3+\cdots +n{B}^n=b_{n}B$

を満たす実数$b_n$を求めよ．

【３】〔１〕　体積が$V\text{，}$表面積が$S\text{，}$底面の半径が$r$の円柱を考える．

(1)　$S$を$V$と$r$で表せ．

(2)　$V$の値を一定にするとき，$S$の最小値とそれを与える$r$の値を求めよ．　

【３】〔２〕　$x>0$のとき$\log (1+x)>x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$であることを示せ．

【４】　$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}}t\cdot \left|t\right|dt$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(0)$と$f(-1)$を求めよ．

(2)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(3)　$f(x)$を求めよ．

(4)　座標平面において曲線$y=f(x)$と直線$y=f(-1)$で囲まれる部分のうち，$-2\leqq x\leqq -1$の範囲の面積を$S_1\text{，}-1\leqq x\leqq 0$の範囲の面積を$S_2\text{，}0\leqq x\leqq 1$の範囲の面積を$S_3$とする．$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3$を求めよ．