2014　高知工科大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　関数$y={(x^2-2x)}^2+4(x^2-2x)+1$の最小値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　次の式の値を求めよ．

${\cos }^2{\displaystyle \frac{\pi }{5}}+\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+{\sin }^2{\displaystyle \frac{4\pi }{5}}$

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　方程式${\log }_{3}x+{\log }_3(x-2)=1$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．

(4)　等比数列$\{a_n\}$において，$a_1+a_4=-13\text{，}{a}_2+a_5=39$のとき，初項$a_1\text{，}$公比$r$を求めよ．

【２】　$3$個のさいころを同時に投げる．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$3$個のさいころの出た目の数がすべて一致する確率を求めよ．

(2)　$3$個のさいころの出た目の数が$1\text{，}2\text{，}3$や$2\text{，}3\text{，}4$のように$3$つの連続した自然数となる確率を求めよ．

(3)　$3$個のさいころの出た目の数の和が$10$になる確率を求めよ．

【３】　$a$を定数とする．関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(6t^2+6t-12)dt+a$

に対し，次の各問に答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

(3)　方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

【４】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{CD}$の延長線上にあって，$\mathrm{CF}:\mathrm{FD}=1:k\text{（}0<k<1\text{）}$を満たす点を$\mathrm{F}$とする．また，$\mathrm{EF}$と$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$として次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AE}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}k$を用いて表せ．

(2)　$l$を$\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}+l\overrightarrow{\mathrm{EF}}$を満たす実数とする．$l$を$k$で表せ．

(3)　$\mathrm{AG}:\mathrm{GD}=9:1$のとき，$k$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　$a\ne 0$とするとき

${\displaystyle \frac{\left|a\right|}{a}}+{\displaystyle \frac{2\sqrt{a^2}}{\left|a\right|}}+{\displaystyle \frac{4a}{\sqrt{a^2}}}$

の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　関数$y=2x^2-4ax+a$の$0\leqq x\leqq 2$における最小値が$-1$であるような定数$a$の値を求めよ．

【１】>　次の各問に答えよ．

(3)　連立方程式

$\{\begin{array}{l}{\log }_2(x+y)+{\log }_2(x-y)=1\\ {\log }_2(x+y)-{\log }_2(x-y)=4\end{array}$

を解け．

【１】　次の各問に答えよ．

(4)　関数$f(x)=\cos x$の導関数が$f^{\prime }(x)=-\sin x$となることを導関数の定義に従って証明せよ．もし必要であれば

$\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin \theta }{\theta }}=1$

であることを用いてよい．

【２】　$a+b+c=0\text{，}{a}^2+b^2+c^2\ne 0$とする．次の各問に答えよ．

(1)　$a=1\text{，}b=2$のとき，ベクトル$\overrightarrow{p}=(a,b,c)$とベクトル$\overrightarrow{q}=(b,c,a)$のなす角$\theta$の余弦$\cos \theta$の値を求めよ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{p}=(a,b,c)$とベクトル$\overrightarrow{q}=(b,c,a)$のなす角の大きさは$a\text{，}b\text{，}c$によらず一定であることを示し，その値を求めよ．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{p}=(a,b,c)$とベクトル$\overrightarrow{r}=(a-b,b-c,c-a)$のなす角の大きさを求めよ．

【３】　次の各問に答えよ．

(1)　$\theta ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$のとき${\displaystyle \frac{\sin \theta }{2+\cos \theta }}$の値を求めよ．

(2)　座標平面上の$2$点$(-2,0)\text{，}(\cos \theta ,\sin \theta )$を通る直線の方程式を求めよ．

(3)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$のとき${\displaystyle \frac{\sin \theta }{2+\cos \theta }}$のとり得る値の範囲を求めよ．

(4)　$x^2+y^2=1$のとき${\displaystyle \frac{y}{2+x}}$のとり得る値の範囲を求めよ．

【４】　負でない整数$n$に対して

$a_n={\displaystyle \frac{1}{n!}}{\displaystyle {\int }_0^1}{x}^n{e}^{1-x}dx$

とおく．ただし，$e$は自然対数の底である．次の各問に答えよ．

(1)　$a_0\text{，}{a}_1\text{，}{a}_2$を求めよ．

(2)　$0\leqq a_n\leqq {\displaystyle \frac{e-1}{n!}}$となることを証明せよ．

(3)　$n\geqq 1$のとき，$a_n$と$a_{n-1}$の関係式を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{1}{k!}}=e$が成り立つことを証明せよ．