2014　高知工科大学　後期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　$0\leqq \theta <2\pi$の範囲で方程式$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　$xy$平面上の放物線$y=x^2+ax+a+3$の頂点が第$1$象限（$x>0\text{，}y>0$）にあるような定数$a$の値の範囲を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　次の等差数列の和を求めよ．

$(-101)+(-98)+\cdots +100$

【１】　次の各問に答えよ．

(4)　不等式${\log }_3(2-x)\geqq {\log }_{3}x$を解け．

【２】　原点$\mathrm{O}$から出発して，数直線を動く点$\mathrm{X}$がある．$1$個のコインを投げて，表が出たら$\mathrm{X}$は$+1$だけ進み，裏が出たら移動しない．$n$を自然数とし，コインを$n$回投げたときの点$\mathrm{X}$の座標が$k$（$k$は整数，$0\leqq k\leqq n$）である確率を$P_n(k)$とする．例えば$n=1$のときは

$P_1(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{P}_1(1)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

である．次の各問に答えよ．

(1)　$P_2(0)\text{，}{P}_2(1)\text{，}{P}_2(2)$の値を求めよ．

(2)　コインを$n$回投げるとき，面がちょうど$k$回出る場合は何通りあるか．階乗記号$!$を用いて答えよ．

(3)　(2)で求めた場合の数を$a_n(k)$とする．次の値を求めよ．

【３】　$xy$平面上の直線$x-3y+5=0$と円$x^2+y^2=5$の$2$つの共有点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．ただし，$\mathrm{A}$の$x$座標は $\mathrm{B}$の$x$座標より大きい．また，原点を$\mathrm{O}$とする．次の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(3)　$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを求めよ．

(4)　$▵\mathrm{OAB}$の外接円の方程式を求めよ．

【４】　次の各問に答えよ．

(1)　次の式を$x$の多項式とみて，降べきの順に整理せよ．

$(x-a)(x-b)(x-c)$

(2)　関数$f(x)=x^3-12x$の極大値と極小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

(3)　異なる$3$つの実数$a\text{，}b\text{，}c$が

$a+b+c=0\text{，}ab+bc+ca=-12$

を満たすとき，$abc$がとり得る値の範囲を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　$x$についての$2$次方程式$x^2-px+q=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とする．$2$次方程式$x^2-qx-p=0$の解が$\alpha +1\text{，}\beta +1$となるような定数$p\text{，}q$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　直線$y=2x$に関して，円${(x-2)}^2+y^2=1$と対称な円の方程式を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　次の方程式を解け．

${\log }_x(x+2)+{\log }_{(x+2)}x={\displaystyle \frac{5}{2}}$

【１】　次の各問に答えよ．

(4)　曲線$y=x^3+a{x}^2+bx+2$は点$(-1,1)$を通り，その点で$x$軸に平行な接線をもつ．定数$a\text{，}b$の値を求めよ．

【２】　関数$y=2(4^x+4^{-x})+16(2^x+2^{-x})+5$について，次の各問に答えよ．

(1)　$t=2^x+2^{-x}$とおくとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$y$を(1)の$t$で表せ．

(3)　$y$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

【３】　次の各問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b$を定数とする．関数$y=a{e}^x\sin x+b{e}^x\cos x$の導関数$y^{\prime }$を求めよ．また，$y^{\prime }=e^x\sin x$となるような$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq \pi$で定義された関数$f(x)=e^x\sin x$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

(3)　(2)の関数$f(x)$に対し，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた領域の面積を求めよ．

【４】　$n$を自然数とし，$A=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 1& 4\end{array}\right)\text{，}{A}^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a_n+c_n$を$n$の式で表せ．

(2)　$b_n+d_n$を$n$の式で表せ．

(3)　$b_n+c_n$を$n$の式で表せ．