2014　高知工科大学　AOマネジメント学部MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}x\text{，}y$を正の実数として，不等式

${(ax+by)}^2\leqq (a^2+b^2)(x^2+y^2)\cdots \text{①}$

を証明せよ．また，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}x\text{，}y\text{，}z$を正の実数として，不等式

${(ax+by+cz)}^2\leqq {(\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{x^2+y^2}+cz)}^2\leqq (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\cdots \text{②}$

を証明せよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　$xy$平面において，連立不等式

$x^2-1\leqq y\text{，}y\leqq 2x^2-4x+2\text{，}y\leqq 2x^2+4x+2$

の表す領域の面積を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　$0$から$9$までの数字を$1$つ書いたカードがそれぞれ$1$枚ずつある．この中から$3$枚をとり，$1$番大きい数を百の位，$2$番目に大きい数を十の位，$1$番小さい数を一の位として，$3$桁の整数をつくる．例えば$\boxed{3}\text{，}\boxed{2}\text{，}\boxed{7}$をとった場合は，$732$を作る．このような作り方は何通りあるか．また，この$3$桁の整数が$500$以上になる場合は何通りあるか．

【１】　次の各問に答えよ．

(4)　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$が条件

$\left|\overrightarrow{a}\right|=7\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=5$

を満たすとき，$\left|\overrightarrow{b}\right|$のとり得る値の範囲を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．このとき

$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=\mathrm{BD}:\mathrm{DC}\cdots \text{①}$

が成り立つことを証明したい．次の各問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{D}$から$2$直線$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{DE}\text{，}\mathrm{DF}$とするとき，$\mathrm{DE}=\mathrm{DF}$が成り立つことを証明せよ．さらにこの事実を用いて$\text{①}$を証明せよ．

(2)　$\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{CAD}=\theta$とおいて，$▵\mathrm{ABD}$と$▵\mathrm{ACD}$の面積を$\theta$を用いて表せ．さらにこの結果を用いて$\text{①}$を証明せよ．

(3)　(1)，(2)以外の方法を用いて$\text{①}$を証明せよ．ただし，複数の方法を思いついても，一通り書けばよい．

【３】　等式

${\displaystyle \sum _{j=1}^n}{(-1)}^{j-1}{j}^2={(-1)}^{n-1}\cdot {\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\cdots \text{(＊)}$

がすべての自然数$n$について成り立つことを証明したい．次の各問に答えよ．

(1)　$n=5$のとき，(＊)の左辺を記号${\displaystyle \sum }$を用いない形で表せ．

(2)　等式(＊)が$n=1$の場合について成り立つことを証明せよ．

(3)　$k$を自然数とするとき，

${(-1)}^{k-1}\cdot {\displaystyle \frac{k(k+1)}{2}}+{(-1)}^k{(k+1)}^2$

を簡単にせよ．

(4)　等式(＊)がすべての自然数$n$について成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

【４】　$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす角とする．連立不等式

$\cos \theta \leqq x\leqq 1\text{，}0\leqq y\text{，}{x}^2+y^2\leqq 1$

の表す$xy$平面上の領域を$D_1\text{，}3$点$(0,0)\text{，}(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}(0,1)$を頂点とする三角形の周および内部を$D_2$とする．領域$D_1\text{，}{D}_2$の面積をそれぞれ$S_1\text{，}{S}_2$とし，$S_1+S_2=S$とする．次の各問に答えよ．

(1)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，領域$D_1\text{，}{D}_2$を図示せよ．また，このときの$S_1\text{，}{S}_2$の値を求めよ．必要ならば半径$r$の円の面積が$\pi r^2$であることを用いて良い．

(2)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$S_1\text{，}{S}_2$を$\theta$で表せ．

(3)　$\theta$の値を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で変化させて，$S$を$\theta$の関数と考える．${\displaystyle \frac{dS}{d\theta }}$を求めよ．

(4)　(3)のとき，$S$の最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．