2014　高知工科大学　推薦システム工学群MathJax

【１】　直線道路上の同地点に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$合計$3$台の電気自動車が停止している．これらの電気自動車は一定速度で走行し，それぞれ以下のような特徴を持っている．

$\mathrm{A}$：$10$分走るごとに$10$分の充電が必要，走行時の時速は$60\mathrm{km}$

$\mathrm{B}$：$20$分走るごとに$10$分の充電が必要，走行時の時速は$30\mathrm{km}$

$\mathrm{C}$：充電時間と同じ時間走行し，走行時の時速は$60\mathrm{km}\text{，}$充電時間は$5$分単位で任意に設定できるが一度設定した充電時間と走行時間は変更できず，最長充電時間は$60$分

(1)　ある時間に充電済みの$\mathrm{A}$車が発車し，$\mathrm{B}$車は未充電であったため$10$分間の充電後に発車した．$\mathrm{A}$車が発車した時点を$0$分とした場合の$0$分から$60$分までの$\mathrm{A}$車および$\mathrm{B}$車の位置と時間の関係をグラフに示せ．ただし縦軸に位置$[\mathrm{km}]\text{，}$横軸に時間[分]をとり，グラフは$\mathrm{A}$車を実線で，$\mathrm{B}$車を点線で示すこと．

(2)　(1)のグラフを用いて$0$分から$10$分までの$60$分間の$\mathrm{A}$車と$\mathrm{B}$車それぞれの平均時速を求め，このまま順調に充電と走行を続けた場合，$\mathrm{A}$車と$\mathrm{B}$車の距離が時間とともにどのように変化するかを説明せよ．

(3)　$60$分の時点で$\mathrm{A}$車もしくは$\mathrm{B}$車のうち一台が停止し，その後，位置関係が逆転した．$60$分以降の$\mathrm{A}$車および$\mathrm{B}$車の位置と時間の関係を(1)のグラフに追加して示すとともに停止した車はどちらであるかを答えよ．グラフは$120$分までとし，$\mathrm{A}$車を実線で，$\mathrm{B}$車を点線で示すこと．

(4)　$\mathrm{C}$車は$0$分時点で充電を開始し，充電完了後に走行を始め，$50$分時点で先頭から$3$位，$110$分時点で$1$位の位置にあった．$\mathrm{C}$車の充電時間が最短となる条件，および最長となる条件について位置と時間の関係を(1)のグラフに一点鎖線で追加して示し，それぞれどのように決定したかを説明せよ．ただし，複数車両が同位置の場合には，いずれの車両も同じ順位とし，若い方の順位とする．

【２】　$1$辺の長さが$X[\mathrm{cm}]$の立方体と，その立方体の長さを$a[\mathrm{cm}]\text{，}$横の長さを$b[\mathrm{cm}]\text{，}$高さを$c[\mathrm{cm}]$変化させて，縦を$L[\mathrm{cm}]\text{，}$横を$W[\mathrm{cm}]\text{，}$高さを$H[\mathrm{cm}]$とした直方体を作る．この直方体の体積が元の立方体の体積に対してどのように変化するかを知りたい．

(1)　立方体の一辺の長さ$X$を$1$から$6\mathrm{cm}$まで変化させた場合の，立方体と直方体の各辺の長さと体積，ならびに直方体と立方体との体積の差を示した下表（空欄は各自で埋めよ）をもとに，調整量$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$はどの$X$に対しても同じとする．

(2)　立方体の体積と直方体の体積，ならびに体積の差を，立方体の$1$辺の長さ$X$に対してグラフ化せよ．ただし，「体積」の目盛りは左側，「体液の差」の目盛りは右側であり，立方体の体積は点線で，直方体の体積は実線で，体積の差は一点鎖線で示せ．なお，直方体の縦，横，高さ，体積については，ゼロ以下は存在しない．

(3)　前記のように，直方体の高さは立方体より低くなるものの，直方体の底面となる縦と横の$2$辺の長さはともに立方体より長くなる．そのような条件であっても，ある$X$の範囲では，直方体の体積が立方体の体積以下になる．体積の差がゼロとなる$X$（$X_0$と記す），ならびに直方体の体積が立方体の体積以下になる$X$の範囲の導出過程を示し，その範囲を(2)の図中に明示せよ．ただし，$\sqrt{5}=2.236$とする．

(4)　上記問題で求まった$X_0$に対して，ここでは，$a=\beta X_0\text{，}b=\beta X_0\text{，}c=-\beta X_0$のように，$\beta$を変えて各調整量を変化させた直方体を作成し，その体積を立方体の体積（${X_0}^3$）より大きくしたい．$\beta$をどのような範囲に設定すればよいか，その範囲について式あるいは図を用いて説明せよ．また，選定した$\beta$とそのときの体積の比（$=\text{直方体の体積}/\text{立方体の体積}$）の一例を示せ．ただし，$0<\beta <1$とする．