2014　東北学院大学　前期文系全学部MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\sqrt{6}\text{，}\mathrm{BC}=3\text{，}\angle \mathrm{BCA}=\theta$とする．$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}$であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　辺$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．

(ⅲ)　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めよ．

(ⅳ)　辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{CA}$上に$\mathrm{CQ}=3$となる点$\mathrm{Q}$をとる．線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．

【２】　毎秒$a\mathrm{m}$の速さで真上に投げ上げた球の$t$秒後の高さ$h\mathrm{m}$は$h=at-5t^2$と表されるとする．次の問いに答えよ．ただし，$a>0$とする．

(ⅰ)　$a=10$のとき，最高何$\mathrm{m}$の高さに達するか．

(ⅱ)　最高点の高さが$20\mathrm{m}$のとき，$a$の値を求めよ．

(ⅲ)　最高点に達してから$1$秒後の高さが$35\mathrm{m}$のとき，$a$の値を求めよ．

【３】　$a$を負の定数とし，放物線$y=a(x+1)(x-3)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$における$(2,-3a)$の接線$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．

(ⅰ)　直線$l$の方程式と点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{OAP}$の面積が${\displaystyle \frac{7}{4}}$であるとき，$a$の値を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)の$a$に対し，線分$\mathrm{OP}\text{，}y$軸および放物線$C$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【４】　$a\text{，}b\text{，}p\text{，}q$を実数とする．$3$つの$2$次方程式

$\begin{array}{ll}{x}^2+ax+b=0& \cdots \text{(1)}\\ x^2+px+q=0& \cdots \text{(2)}\\ 2x^2+(a+p)x+b+q=0& \cdots \text{(3)}\end{array}$

について，次を証明せよ．

(ⅰ)　(1)，(2)，(3)がすべて重解をもてば，$a=p$かつ$b=q$である．

(ⅱ)　(1)，(2)がともに虚数解をもてば，(3)も虚数解をもつ．

【５】　${(\sqrt{7}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{49}})}^{50}$の展開式について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x^{96}$の係数を$a\times 7^b$の形に表せ．ただし，$a\text{，}b$は自然数とし，$a$は$7$の倍数でないとする．

(ⅱ)　係数が自然数になる項の個数を求めよ．

【６】　$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=(1-{\displaystyle \frac{1}{n+1}})(3a_n-2)+2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定まる数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　数列$\{b_n\}$を$b_n=n{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定めるとき，$b_n$と$b_{n+1}$の関係式を求めよ．

(ⅱ)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．