2014　東北学院大学　前期分割文，経済，経営，法，教養学部2月2日MathJax

【１】　$2$次関数$f(x)=x^2-2ax+a+2$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$y=f(x)$のグラフが点$(1,1)$を通るとき，$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　$0\leqq x\leqq 3$における$f(x)$の最小値を$m$とするとき，$a$を用いて$m$を表せ．

(ⅲ)　$0\leqq x\leqq 3$において，つねに$f(x)>0$が成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　一辺の長さが$5$の正方形$\mathrm{ABCD}$の内部に点$\mathrm{P}$をとる．点$\mathrm{P}$を頂点とする$4$つの三角形の面積比が

$▵\mathrm{PAB}:▵\mathrm{PBC}:▵\mathrm{PCD}:▵\mathrm{PDA}=1:2:4:3$

であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　線分$\mathrm{PA}\text{，}\mathrm{PB}\text{，}\mathrm{PC}\text{，}\mathrm{PD}$の長さを求めよ．

(ⅱ)　$\angle \mathrm{CPD}=\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(ⅲ)　三角形$\mathrm{PCD}$の外接円の半径を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　すべての実数$k$に対して，${\displaystyle {\int }_{k-1}^k}(x^2+ax+b)dx=k^2$を満たすような定数$a\text{，}b$の値を求めよ．

(ⅱ)　$n$を自然数とするとき，和$1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2$を(ⅰ)で求めた等式を用いて計算せよ．

【４】　$a\text{，}b$は$1$と異なる正の数とし，$x\text{，}y$は$x<y$を満たす実数とする．$a^x=b^y$であるとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$b=\sqrt{a}\text{，}y=x+1$のとき，$x\text{，}y$の値をそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　$y<0$かつ$0<a<1$のとき，$a$と$b$の大小関係を調べよ．

(ⅲ)　$x>0$かつ$0<b<1$のとき，$a$と$b$の大小関係を調べよ．

【５】　次の命題の真偽を調べ，真であるときは証明を与え，偽であるときは反例をあげよ．ただし，$m\text{，}n$は自然数とする．

(ⅰ)　$n^2$が$4$の倍数ならば，$n$は$4$の倍数である．

(ⅱ)　$m^2+n^2$が偶数ならば，$m+n$は偶数である．

【６】　次の数列の第$n$項を$a_n$とする．

$1,1.1,1.11,1.111,1.1111,\cdots$

　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(ⅱ)　この数列の初項から第$n$項までの和を求めよ．