2014　東北学院大学　前期分割工(機械知能工,電子工学科)学部MathJax

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　${(3x+{\displaystyle \frac{1}{3x}})}^7$の展開式における$x^3$の項の係数の値は$\boxed{\text{(ア)}}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{1}{1-a}}+{\displaystyle \frac{1}{1+a}}+{\displaystyle \frac{2}{1+a^2}}+{\displaystyle \frac{4}{1+a^4}}+{\displaystyle \frac{8}{1+a^8}}$を簡単にすると$\boxed{\text{(イ)}}$となる．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　不等式${\log }_2(x-1)+2{\log }_4(x-3)\leqq 1$を解くと$\boxed{\text{(ウ)}}$となる．

【２】　二等辺三角形$▵\mathrm{OAB}$に対し$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$が

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=3\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3$

を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$▵\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{O}$から線分$\mathrm{AB}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{C}\text{，}$点$\mathrm{B}$から線分$\mathrm{OA}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(ⅲ)　線分$\mathrm{OC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，$▵ODE$の面積を求めよ．

【３】　放物線$y=2x^2$上にあり，$x$座標が$-t\text{，}2-2t$である点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．$0<t<1$のとき以下の問いに答えよ．ただし原点を$\mathrm{O}$とする．

(ⅰ)　直線$\mathrm{PQ}$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　$▵\mathrm{OPQ}$の面積を$t$を用いて表せ．

(ⅲ)　$t$がこの範囲を動くとき，$▵\mathrm{OPQ}$の面積の最大値を求めよ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{1+2x^2}}$について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)\text{，}{f}^{″}(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(ⅲ)　$y=f(x)$と$y=ax\text{（}0<a<1\text{）}$のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ．