2014　東北学院大学　後期文,法,経済,経営,教養学部3月4日MathJax

【１】　$2$次関数$f(x)$が$f(0)=0\text{，}f(x+1)-f(x-1)=4(x+1)$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$f(x)$の最小値を求めよ．

(ⅲ)　$f(x)$の$a-1\leqq x\leqq a+1$における最大値と最小値の差を$M$とするとき，$M$の最小値およびそのときの$a$の値を求めよ．

【２】　次の式を因数分解せよ．

(ⅰ)　$a^2-b^2+c^2-d^2+2ac+2bd$

(ⅱ)　$x^3+x^{2}y+x^{2}z-x{y}^2-2xyz-x{z}^2-y^3-3y^{2}z-3y{z}^2-z^3$

【３】　次の等式を証明せよ．

(ⅰ)　$\sin \theta \sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\sin (\theta +\pi )\sin (\theta +{\displaystyle \frac{3\pi }{2}})={\displaystyle \frac{1}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{8}}\cos 4\theta$

(ⅱ)　$\sin \theta \sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\sin (\theta +{\displaystyle \frac{3\pi }{4}})={\displaystyle \frac{1}{8}}\sin 4\theta$

【４】　連立不等式

${(x-1)}^2+y^2\leqq 2\text{，}|x-1|+|y-1|\leqq 1$

の表す領域を$D$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　領域$D$を図示せよ．

(ⅱ)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$x-2y$の最大値と最小値を求めよ．

【５】　$5$枚のカードのそれぞれに，$1$から$5$までの数字を$1$つずつ重複を許して書く．このとき，次の確率を求めよ．

(ⅰ)　カードを$1$枚取るとき，数字$1$が書かれている確率

(ⅱ)　カードを$2$枚取るとき，いずれのカードにも数字$1$が書かれていない確率

(ⅲ)　カードを$2$枚取るとき，書かれた数字の和が$5$となる確率．

【６】　平面上に三角形$\mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$があり，等式$2\overrightarrow{\mathrm{PA}}+3\overrightarrow{\mathrm{PB}}+4\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$を満たしている．$2$直線$\mathrm{CP}$と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

(ⅱ)　線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{DB}$の長さの比$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}$を整数の比で表せ．

(ⅲ)　三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{ADP}$の面積比$▵\mathrm{ABC}:▵\mathrm{ADP}$を整数の比で表せ．