2014　慶応義塾大学　薬学部MathJax

【１】(1)　実数$x$の関数$f(x)=x^3-a{x}^2+bx+4b-2$は，$\underset{x\to 4}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x-2}}=-5$を満たす．ただし，$a\text{，}b$は実数とする．このとき，

(ⅰ)　$b$を$a$の式で表すと，$b=\boxed{\text{(1)}}a-\boxed{\text{(2)}}$である．

(ⅱ)　$x$の値が$3$から$6$まで変化するときの関数$f(x)$の平均変化率が，関数$f(x)$の$x=2+\sqrt{7}$における微分係数に等しいとき，$a=\boxed{\text{(3)}}\text{，}b=\boxed{\text{(4)}}$である．

【１】(2)　実数$a$についての方程式

$A=|2a+{\displaystyle \frac{4}{3}}k|+|a-{\displaystyle \frac{8}{9}}k|$

において，$a={\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき$A={\displaystyle \frac{21}{4}}$である．ただし，$k$は正の実数の定数とする．このとき，

(ⅰ)　$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(5)}}}{\boxed{\text{(6)}}}}$である．

(ⅱ)　$A$の最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(7)}}}{\boxed{\text{(8)}}}}$であり，このときの$a$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(9)(10)}}}{\boxed{\text{(11)}}}}$である．

【１】(3)　$n$を自然数とする．数列$\{a_n\}$は，$a_1=5\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{25}{{a_n}^2}}$を満たす．このとき，

(ⅰ)　$a_3=\boxed{\text{(12)(13)}}\text{，}{a}_4={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(14)}}}{\boxed{\text{(15)(16)}}}}$である．

(ⅱ)　$b_n={\log }_5{a}_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を$n$の式で表すと，$b_n={\displaystyle \frac{{(\boxed{\text{(17)(18)}})}^{n-1}}{\boxed{\text{(19)}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(20)}}}{\boxed{\text{(21)}}}}$である．

【１】(4)　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\angle \mathrm{BCD}=60\mathrm{°}\text{，}\mathrm{CD}=2\sqrt{6}\text{，}\angle \mathrm{DAB}>\angle \mathrm{CDA}$である．また$2$直線$\mathrm{BA}\text{，}\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{E}\text{，}2$直線$\mathrm{DA}\text{，}\mathrm{CB}$の交点を$\mathrm{F}$とすると，$\angle \mathrm{AFB}=45\mathrm{°}\text{，}\mathrm{DE}=3\sqrt{2}-\sqrt{6}$である．このとき，

(ⅰ)　$\angle \mathrm{AED}$の大きさは$\boxed{\text{(22)(23)}}\mathrm{°}$であり，辺$\mathrm{EB}$の長さは$\boxed{\text{(24)}}$である．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{AED}$の面積は，三角形$\mathrm{CEB}$の面積の${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(25)}}-\sqrt{\boxed{\text{(26)}}}}{\boxed{\text{(27)}}}}$倍である．

【１】(5)　$xy$平面上に放物線$C\text{：}2x^2+(k-5)x-(k+1)y+6k-14=0$と直線$l\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}x$がある．$k$は$k\ne -1$を満たす実数とする．放物線$C$は$-1$を除くすべての実数$k$に対して$2$定点$\mathrm{A}(x_{\mathrm{A}},y_{\mathrm{A}})\text{，}\mathrm{B}(x_{\mathrm{B}},y_{\mathrm{B}})$を通る．ただし，$x_{\mathrm{A}}<x_{\mathrm{B}}$とする．このとき，

(ⅰ)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標は$(x_{\mathrm{A}},y_{\mathrm{A}})=(\boxed{\text{(28)(29)}},\boxed{\text{(30)}})\text{，}(x_{\mathrm{B}},y_{\mathrm{B}})=(\boxed{\text{(31)}},\boxed{\text{(32)(33)}})$である．

(ⅱ)　直線$l$上に点$\mathrm{P}$をおき，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をそれぞれ点$\mathrm{P}$と線分で結ぶとき，距離の和$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$を最小にする点$\mathrm{P}$の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(34)(35)}}}{\boxed{\text{(36)}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(37)(38)}}}{\boxed{\text{(39)}}}})$である．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に円$C\text{：}{x}^2+y^2=r^2$と放物線$D\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-t$がある．ただし$r$と$t$はそれぞれ正の実数の定数とする．点$(0,-55)$から放物線$D$に傾きが正の接線を引くとき，その接線の傾きは$3\sqrt{6}$である．放物線$D$上には$x$座標がそれぞれ$-4\sqrt{3}\text{，}4\sqrt{3}$である点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$があり，円$C$はこの$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通る．このとき，

(1)　$t=\boxed{\text{(40)(41)}}$である．

(2)　$r=\boxed{\text{(42)}}$である．

(3)　円$C$と$2$線分$\mathrm{OP}\text{，}\mathrm{OQ}$で囲まれる$2$つの扇形のうち，$\angle \mathrm{POQ}$が$\pi$より小さい方の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(43)(44)}}}{\boxed{\text{(45)}}}}\pi$である．

(4)　円$C$と放物線$D$で囲まれた図形のうち，

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2\geqq r^2\\ y\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-t\end{array}$

で表される図形の面積は$\boxed{\text{(46)(47)(48)}}\sqrt{\boxed{\text{(49)}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(50)(51)}}}{\boxed{\text{(52)}}}}\pi$である．

【３】　正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の頂点$\mathrm{D}$と正六角形の外部の点$\mathrm{G}$を線分で結んだ右のような図形がある．動点$\mathrm{P}$はこの図形の線分上を動き，点から点へ移動する．動点$\mathrm{P}$の隣接する点への移動には$1$秒間を要する．また，隣接する点が複数あるときは，等しい確率でどれか$1$つの点に移動するものとする．

(1)　動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$4$秒後に$\mathrm{G}$にいる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(53)}}}{\boxed{\text{(54)(55)}}}}$である．

(2)　動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$5$秒後に$\mathrm{D}$にいる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(56)(57)}}}{\boxed{\text{(58)(59)}}}}$である．

(3)　動点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$から出発して$\mathrm{D}$に到達した時点で移動を終了するとき，$2n+1$秒以内に移動を終了する確率は${\displaystyle \frac{{\boxed{\text{(60)}}}^n-{\boxed{\text{(61)}}}^n}{{\boxed{\text{(62)}}}^n}}$である．ただし，$n$は自然数とする．

【４】　正四面体$\mathrm{OABC}$において辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$m:(1-m)$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．ただし，$m$は$0<m<1$を満たす実数の定数とする．$\mathrm{E}$から$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$の定める平面に垂線$\mathrm{EH}$を下ろし，直線$\mathrm{OH}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{I}$とする．三角形$\mathrm{ODE}$の面積は${\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{4}}$であり，四面体$\mathrm{ODEF}$の体積は正四面体$\mathrm{OABC}$の体積の${\displaystyle \frac{5}{54}}$倍である．このとき，

(1)　正四面体$\mathrm{OABC}$の一辺の長さは$\boxed{\text{(63)}}\sqrt{\boxed{\text{(64)}}}$であり，体積は$\boxed{\text{(65)(66)}}\sqrt{\boxed{\text{(67)}}}$である．

(2)　$m={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(68)}}}{\boxed{\text{(69)}}}}$である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OI}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(70)(71)}}}{\boxed{\text{(72)(73)}}}}\overrightarrow{\mathrm{OD}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(74)}}}{\boxed{\text{(75)(76)}}}}\overrightarrow{\mathrm{OF}}$である．