2014　慶応義塾大学　看護医療学部MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)　等差数列$\{a_n\}$は，初項から第$5$項までの和は$50$で，$a_5=16$であるとする．このとき，一般項$a_n$は，$a_n=\boxed{\text{(ア)}}$となり，初項から第$n$項までの和$S_n$は，$a_n=\boxed{\text{(イ)}}$となる．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(2)　${(x+1)}^8{(x-1)}^4$を展開したとき，$x^{10}$の項の係数は$\boxed{\text{(ウ)}}$である．また，${(x^2+x+1)}^6$を展開したとき，$x^{10}$の項の係数は$\boxed{\text{(エ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=60\mathrm{°}\text{，}\mathrm{AB}=6\text{，}\mathrm{AC}=7$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$は$S=\boxed{\text{(オ)}}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の長さは$\mathrm{BC}=\boxed{\text{(カ)}}\text{，}$三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$は$R=\boxed{\text{(キ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(4)　${12}^n$の正の約数の個数が$28$個となるような自然数$n$は，$n=\boxed{\text{(ク)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)　座標平面上に曲線$C_1\text{：}y=x^2-1$がある．$x$軸に関して$C_1$に対称な曲線を$C_2$とすると，$C_2$を表す方程式は$\boxed{\text{(ケ)}}$である．

　$0\leqq a\leqq 1$とするとき，$-a\leqq x\leqq a$において，曲線$C_2$と直線$y=a^2-1\text{，}$および$2$直線$x=-a\text{，}x=a$で囲まれた図形の面積$S(a)$は，

$S(a)=\boxed{\text{(コ)}}$

となる．$S(a)$は，$a=\boxed{\text{(サ)}}$のとき最大値$\boxed{\text{(シ)}}$をとる．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(2)　関数$f(x)=8^x-6\cdot 4^x+5\cdot 2^x$を考える．$f(x)=-12$を満たす実数$x$をすべて求めると，$x=\boxed{\text{(ス)}}$となる．また，方程式$f(x)=k$が$3$つの実数解をもつような定数$k$の値の範囲は，$\boxed{\text{(セ)}}<k<\boxed{\text{(ソ)}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい．

　それぞれ$\mathrm{K}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{I}\text{，}\mathrm{O}$という文字の書かれた$4$枚のカードがある．その中から無作為に$1$枚のカードを取り出し，文字を確認してからカードを元に戻すことを$4$回繰り返す．

(1)　$1$回目と$2$回目に取り出すカードの文字が異なる確率は$\boxed{\text{(タ)}}$である．

(2)　$3$回目までに取り出すカードの文字がすべて異なる確率は$\boxed{\text{(チ)}}$である．

(3)　$4$回目までに，$\mathrm{K}$と書かれたカードを$2$回，$\mathrm{O}$と書かれたカードを$2$回取り出す確率は$\boxed{\text{(ツ)}}$である．

(4)　$4$回目までに取り出すカードの文字が$2$種類である確率は$\boxed{\text{(テ)}}$である．

(5)　$4$回目までに取り出したカードの文字が$X$種類であるとするとき，$X$の期待値は$\boxed{\text{(ト)}}$である．

【４】　座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(1,3,3)\text{，}\mathrm{B}(1,1,2)\text{，}\mathrm{C}(2,3,2)\text{，}\mathrm{P}(t,t,t)$をとる．ただし$t$は実数である．以下の問いに答えなさい．

(1)　$t\ne 0$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が直交するような$t$の値を求なさい．

(2)　${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{CP}}^2$が最小となるような$t$の値を求めなさい．

(3)　$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{P}$が$1$つの平面に含まれるような$t$の値を求めなさい．

【５】　次の設問に答えなさい．

(1)　有理数の定義を書きなさい．

(2)　次のそれぞれの命題の真偽を解答用紙の所定の欄に記入し，真の場合はそれを証明し，偽の場合はその理由を述べなさい．

(a)　$\sqrt{5}$は無理数である．

(b)　$r\text{，}s$がともに有理数ならば，積$rs$は有理数である．

(c)　$\alpha$が無理数で，$r$が$0$でない有理数ならば，積$\alpha r$は無理数である．

(d)　$\alpha \text{，}\beta$がともに無理数ならば，積$\alpha \beta$は無理数である．