2014　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】(1)　$3$次方程式$x^3+1=0$の$-1$でない解の$1$つを$\alpha$とするとき，

$(3+7\alpha )(7+3\alpha )-4(1+{\alpha }^2)=\boxed{\text{(ア)}}\alpha$

となる．

【１】(2)　三角形$\mathrm{ABC}$において，

$\mathrm{AB}=2\text{，}\angle \mathrm{ACB}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}\angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

であるとき，$\mathrm{AC}=\boxed{\text{(イ)}}$である．

【１】(3)　$X=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -2& -1\end{array}\right)\text{，}Y=\left(\begin{array}{cc}-3& 0\\ 0& -3\end{array}\right)$および自然数$n$に対し，

$3X^n-5X^{3}Y+X^2{Y}^2+X{Y}^3+Y^n=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{(ウ)}}& \boxed{\text{(エ)}}\\ \boxed{\text{(オ)}}& \boxed{\text{(カ)}}\end{array}\right)$

となる．

【１】(4)　$a\text{，}b$を$a>0\text{，}b>0$となる実数とする．放物線$y=-a{x}^2+b$と円$x^2+y^2=1$の共有点が$2$個であるための必要十分条件は，$b=\boxed{\text{(キ)}}$かつ$a>\boxed{\text{(ク)}}$が成り立つことである．ただし，$\boxed{\text{(キ)}}$には$a$の式，$\boxed{\text{(ク)}}$には数を記入すること．

【２】　$1$個のさいころを繰り返し投げて次のルールで持ち点を変えて行く．

$\text{ルール}|\begin{array}{lll}1\text{，}2\text{，}3& \text{の目のどれかが出たとき}& \text{持ち点に}1\text{点を加える，}\\ 4\text{，}5& \text{の目のどちらかが出たとき}& \text{持ち点に}2\text{点を加える，}\\ 6& \text{の目が出たとき}& \text{持ち点をすべて失い}0\text{点とする．}\end{array}$

いま，はじめの持ち点は$0$点とする．

(1)　さいころを$2$回投げたときの持ち点の期待値は$\boxed{\text{(ケ)}}$である．

(2)　さいころを$4$回投げたとき持ち点が$2$点以上となる確率は$\boxed{\text{(コ)}}$である．

(3)　さいころを$4$回投げたとき持ち点が$4$点となる確率は$\boxed{\text{(サ)}}$である．

(4)　さいころを$n$回投げたとき持ち点が$0$でない偶数となる確率を$P_n$とする．$P_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{P}_2=\boxed{\text{(シ)}}$である．また，$P_{n+1}$と$P_n$の間には$P_{n+1}=\boxed{\text{(ス)}}$という関係式が成り立つ．これより$P_n$を$n$を用いて表すと$P_n=\boxed{\text{(セ)}}$となる．

【３】　$a_1=0\text{，}{a}_{n+1}=\log (a_n+e)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定まる数列$\{a_n\}$の収束について調べたい．以下の問いに答えなさい．

(1)　方程式$x=\log (x+e)$は$x>0$の範囲でただ$1$つの実数解$\beta$をもつことを証明しなさい．

(2)　すべての自然数$n$について$0\leqq a_n<\beta$が成り立つことを証明しなさい．

(3)　$0<a<b$のとき$\log b-\log a<{\displaystyle \frac{b-a}{a}}$が成り立つことを証明しなさい．

(4)　すべての自然数$n$について$\beta -a_{n+1}<{\displaystyle \frac{1}{e}}(\beta -a_n)$が成り立つことを証明し，これを用いて$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\beta$を示しなさい．

【４】　座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(1,0,1)\text{，}\mathrm{B}(0,2,3)\text{，}\mathrm{C}(0,0,3)$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$について考える．

　四面体$\mathrm{OABC}$を平面$z=t\text{（}0<t<3\text{）}$で切ったときの切り口の面積を$f(t)$とする．$0<t\leqq 1$のとき$f(t)=\boxed{\text{(ソ)}}$である．また，$1<t<3$のとき平面$z=t$と辺$\mathrm{AB}$の交点の座標は$\boxed{\text{(タ)}}$となり，$f(t)=\boxed{\text{(チ)}}$となる．

　次に，四面体$\mathrm{OABC}$において，$2$つの平面$z=t$と$z=t+2\text{（}0<t<1\text{）}$の間に挟まれた部分の体積を$g(t)$とすると，その導関数は$g^{\prime }(t)=\boxed{\text{(ツ)}}$であり，$g(t)$は$t=\boxed{\text{(テ)}}$のとき最大値をとる．

【５】　以下の$\boxed{\text{(ト)}}\text{，}\boxed{\text{(ナ)}}\text{，}\boxed{\text{(ニ)}}$には三角関数は$\sin \theta$と$\cos \theta$のみを記入し，$\boxed{\text{(ヌ)}}$には$x$の式，$\boxed{\text{(ネ)}}$には$y$の式を記入すること．

　座標平面上の$2$点$(1,0)\text{，}(0,1)$を結ぶ曲線$C$が媒介変数$\theta$を用いて

$\{\begin{array}{l}x=f(\theta )\\ y=g(\theta )\end{array}(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

と表されているとする．いま，関数$f(\theta )\text{，}g(\theta )$は$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で連続，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で微分可能かつ$f^{\prime }(\theta )\ne 0$であるとする．また$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，点$(f(\theta ),g(\theta ))$における曲線$C$の接線の傾きが$-\tan \theta$であり，この接線から$x$軸，$y$軸で切りとられる線分の長さがつねに一定で$1$であるとする．

　まず，この曲線$C$の方程式を求めたい．$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，曲線$C$上の点$(f(\theta ),g(\theta ))$における接線を$y=-(\tan \theta )x+h(\theta )$と表すと$h(\theta )=\boxed{\text{(ト)}}$となる．この接線の傾きが${\displaystyle \frac{g^{\prime }(\theta )}{f^{\prime }(\theta )}}$となることより，$f(\theta )=\boxed{\text{(ナ)}}\text{，}g(\theta )=\boxed{\text{(ニ)}}$となる．したがって，曲線$C$を$x\text{，}y$の方程式で表すと

$\boxed{\text{(ヌ)}}+\boxed{\text{(ネ)}}=1\text{（}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{）}$

となる．

　次に，点$(f(\theta ),g(\theta ))$における曲線$C$の法線を$l(\theta )$とする．$\theta \ne {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき$l(\theta )$と$l\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$との交点の$x$座標を$X(\theta )$とすると，$\underset{\theta \to \frac{\pi }{4}}{\lim }X(\theta )=\boxed{\text{(ノ)}}$となる．

　また，曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{(ハ)}}$である．