2014　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　$1$辺の長さが$1$である正六角形の頂点を時計の針の回り方と逆回りに$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{b}$とする．

(1)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(1)}\text{(2)}}}{\boxed{\text{(3)}}}}\text{，}(2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})\cdot (3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(4)}\text{(5)}}}{\boxed{\text{(6)}}}}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=2s\overrightarrow{a}+(3-3s)\overrightarrow{b}$で与えられる点$\mathrm{P}$が$▵\mathrm{ACF}$の内部に存在するような実数$s$の値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(7)}}}{\boxed{\text{(8)}}}}<s<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(9)}}}{\boxed{\text{(10)}}}}$

である．

(3)　正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の外接円を$S$とする．$S$の周上の任意の点$\mathrm{Q}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$は

$\boxed{\text{(11)}\text{(12)}}\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{q}+\boxed{\text{(13)}\text{(14)}}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{q}+2\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{q}=0$

をみたす．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とする．$x$の関数$F(x)$を

$F(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+a{x}^2+bx+c$

と定め，

$f(x)=F^{\prime }(x)$

とおく．関数$F(x)$は$x=\alpha$において極大に，$x=\beta$において極小になるとする．点$(\alpha ,f(\alpha ))\text{，}(\beta ,f(\beta ))$における曲線$y=f(x)$の接線をそれぞれ$l_{\alpha }\text{，}{l}_{\beta }$とする．

(1)　直線$l_{\alpha }$と$l_{\beta }$の交点の座標は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(15)}}}{\boxed{\text{(16)}}}}\alpha +{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(17)}}}{\boxed{\text{(18)}}}}\beta ,{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(19)}\text{(20)}}}{\boxed{\text{(21)}}}}{(\beta -\alpha )}^2)$

である．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$l_{\alpha }\text{，}{l}_{\beta }$とで囲まれた図形の面積を$S$とすると，

$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(22)}}}{\boxed{\text{(23)}\text{(24)}}}}{(\beta -\alpha )}^3$

である．必要なら次の公式を使ってよい．$r$を実数とすると

${\displaystyle \int }{(x+r)}^{2}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}{(x+r)}^3+C$（$C$は定数）

(3)　実数$a\text{，}b$が不等式

$0\leqq a\leqq 2\text{，}2a-4\leqq b\leqq 2a-2$

をみたす範囲を動くとき，$S$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(25)}\text{(26)}}}{\boxed{\text{(27)}}}}\text{，}$最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(28)}\text{(29)}}}{\boxed{\text{(30)}}}}$である．

【３】　$n$を自然数とする．赤玉が$n$個，青玉が$2$個，白玉が$1$個入った袋がある．

(1)　袋から同時に$2$個の玉を取り出す．$n=\boxed{\text{(31)}\text{(32)}}$のとき，取り出された$2$個の玉に含まれる赤玉の個数の期待値は${\displaystyle \frac{7}{4}}$である．

(2)　袋から玉を$1$個取り出し，色を調べてから元に戻すことを$10$回くり返す．

(a)　$n=5$のとき，青玉が$9$回以上出る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(33)}\text{(34)}}}{4^{10}}}$である．

(b)　調べた色を順に記録してできる色の列のうちで

「赤が$8$個以下，または$3$番目が青か白」

であるものの総数は$3^{10}-\boxed{\text{(35)}\text{(46)}}$である．

【４】　$a\text{，}b\text{，}c$を正の実数とする．実数$x\text{，}y$が

$y=a^{bx+c}$

をみたすとき

${\mathrm{LOG}}_{a,b,c}y=x$

と表すことにする．

(1)　${\mathrm{LOG}}_{2,4,5}8$の値を求めよ．

(2)　${\mathrm{LOG}}_{2,4,2}5=s$とおく．${\log }_{16}125$を$s$を用いて表せ．ただし，対数を使わないで表せ．

(3)　等式

${\mathrm{LOG}}_{2,2,4}(2t+11)-{\mathrm{LOG}}_{2,2,2}(t+1)-{\mathrm{LOG}}_{2,2,2}(t+3)=0$

をみたす実数$t$をすべて求めよ．

【５】　$a$を実数とする．$2$次関数

$f(x)=x^2-ax+1$

の区間$0\leqq x\leqq 1$における最大値を$M(a)\text{，}$最小値を$m(a)$と表す．

(1)　$2$つの関数$b=M(a)$と$b=m(a)$のグラフをかけ．

(2)　$b$を実数とする．$2$次方程式

$x^2-ax+1-b=0$

が区間$0\leqq x\leqq 1$において少なくとも$1$つの解を持つような点$(a,b)$全体の集合を，(1)を用いて斜線で図示せよ．

【６】　次の命題を証明せよ．ただし，(2)の証明には(1)を使ってよい．

(1)　$x$は実数とする．$x\geqq 4$のとき，$3x^3+3x+1<x^3$が成り立つ．

(2)　$n$は自然数とする．$n\geqq 10$のとき，$n^3<2^n$が成り立つ．