2014　慶応義塾大学　環境情報学部MathJax

【１】

(1)　$x\text{，}y\text{，}z$は実数で$xyz\ne 0$とする．もし

$2^x=3^y={\boxed{\text{(1)}\text{(2)}}}^z$

ならば

${\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{y}}={\displaystyle \frac{1}{z}}$

である．

【１】

(2)　関数$f(x)=x^2-2$に対して，$g(x)=f(f(x))$とおく．このとき，方程式$g(x)=x$の解は

$\boxed{\text{(3)}\text{(4)}}\text{，}\boxed{\text{(5)}\text{(6)}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(7)}\text{(8)}}\pm \sqrt{\boxed{\text{(9)}\text{(10)}}}}{\boxed{\text{(11)}\text{(12)}}}}$

である．ただし，最初の数は$2$番目の数より小とする．

【１】

(3)　直線$y=-3x$上の点$\mathrm{P}$と，曲線$xy=2\text{（}x>0\text{）}$上の点$\mathrm{Q}$の間の距離の最小値は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(13)}}\sqrt{\boxed{\text{(14)}\text{(15)}}}}{\boxed{\text{(16)}\text{(17)}}}}$

である．

【２】(1)

${\displaystyle {\int }_0^1}|x-a|(x+1)dx$

を最小にする$a$の値は

$a=\boxed{\text{(18)}\text{(19)}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(20)}\text{(21)}}}{\boxed{\text{(22)}\text{(23)}}}}\sqrt{\boxed{\text{(24)}\text{(25)}}}$

である．

(2)　$f(a)$を$0\leqq x\leqq 1$における$|x-a|(x+1)$の最大値とする．このとき$f(a)$を最小にする$a$の値は

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(26)}\text{(27)}}}{\boxed{\text{(28)}\text{(29)}}}}$

である．

【３】

(1)　$1$から$15$までの自然数全体からなる集合$\{1,2,\cdots ,15\}$の部分集合で，$10$個の要素からなり，すべての要素の和が$56$以上になるものは全部で$\boxed{\text{(30)}\text{(31)}\text{(32)}\text{(33)}}$個ある．

【３】

(2)　女子$7$人と男子$4$人がいる．その中から$3$人を選び，$3$個の異なるお菓子を$1$人に$1$個ずつ与える．ただし，$2$人以上の女子を選ばなければならないとすると，与える方法は$\boxed{\text{(34)}\text{(35)}\text{(36)}}$通りである．

【４】　関数$f_1(x)\text{，}{g}_1(x)$をつぎのように定める．

$f_1(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{（}x>1\text{）}\\ x& \text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}\\ -1& \text{（}x<-1\text{）}\end{array}$

$g_1(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(f_1(1+x)+f_1(1-x))$

このとき

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{g}_1(x)dx={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(37)}}}{\boxed{\text{(38)}}}}$

である．

　つぎに関数$f_2(x)$をつぎのように定める．

$f_2(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{g}_1(t)dt$

このとき

$f_2(x)=x-{\displaystyle \frac{x^2}{\boxed{\text{(39)}}}}\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{），}{\displaystyle {\int }_0^2}{f}_2(x)dx={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(40)}}}{\boxed{\text{(41)}}}}$

を得る．さらに

$g_2(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(f_2(1+x)+f_2(1-x))$

とおけば

$g_2(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(42)}}}{\boxed{\text{(43)}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(44)}}}{\boxed{\text{(45)}}}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(46)}}}{\boxed{\text{(47)}}}}{x}^2\text{（}1\leqq x\leqq 3\text{）}$

そして

${\displaystyle {\int }_{-3}^3}{g}_2(x)dx=\boxed{\text{(48)}\text{(49)}}$

を得る．

【５】　数列$\{a_n\}$に対してつぎのように定められる数列$\{b_n\}$を$\{a_n\}$の階差数列という．

$b_n=a_{n+1}-a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$\{b_n\}$の階差数列を$\{c_n\}$とし，$\{c_n\}$の階差数列を$\{d_n\}$としよう．いま

$a_1=1\text{，}$$b_1=2\text{，}$$c_1=4$

であり，$d_n$はすべて$8$に等しいとする．このとき

$a_5=\boxed{\text{(101)}\text{(102)}}\text{，}$$a_6=\boxed{\text{(103)}\text{(104)}\text{(105)}}\text{，}$$a_7=\boxed{\text{(106)}\text{(107)}\text{(108)}}$

であり，一般に

$a_n={\displaystyle \frac{1}{3}}(\boxed{\text{(109)}\text{(110)}}{n}^3-\boxed{\text{(111)}\text{(112)}}{n}^2$$+\boxed{\text{(113)}\text{(114)}}n-\boxed{\text{(115)}\text{(116)}})$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．

【６】　$n$を正の整数とし，正数$a$の$n$乗を計算するとき，単純には$n-1$回のかけ算をおこなえばよいが，公式

$a^{pq}={(a^p)}^q$

を用いるとより効率的に計算することができる．たとえば，$3^{10}$の計算は，単純に計算すると$9$回のかけ算必要になるが

$3^{10}={(3^2)}^5=9^5=9\times 9^4=9\times {(9^2)}^2=9\times {81}^2=9\times 6561=59049$

とすれば，$4$回のかけ算で計算することができる．

　つぎのプログラムは，正数Aと正の整数Bを入力したとき，AのN乗を計算するものである．プログラムの空欄に入るもっとも適切な選択肢を選び，その番号を答えなさい．

• 100 INPUT A
• 110 INPUT N
• 120 LET X = $\boxed{\text{(201)}\text{(202)}}$
• 130 IF N = 0 THEN GOTO 190
• 140 IF INT(N / 2) = $\boxed{\text{(203)}\text{(204)}}$ THEN GOTO $\boxed{\text{(205)}\text{(206)}}$
• 150 LET X = $\boxed{\text{(207)}\text{(208)}}$
• 160 LET N = $\boxed{\text{(209)}\text{(210)}}$
• 170 LET A = $\boxed{\text{(211)}\text{(212)}}$
• 180 GOTO $\boxed{\text{(213)}\text{(214)}}$
• 190 PRINT X
• 200 END

[選択肢]

• (10)　0
• (11)　1
• (12)　2
• (13)　130
• (14)　140
• (15)　150
• (16)　160
• (17)　170
• (18)　180
• (19)　190
• (20)　A * N
• (21)　A * A
• (22)　A * X
• (23)　A * 2
• (24)　N + 1
• (25)　N - 1
• (26)　N * 2
• (27)　INT(N / 2)
• (28)　N / 2
• (29)　X * X
• (30)　X * 2