2014　慶応義塾大学　医学部MathJax

【１】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(1)　$1$から$13$までの整数が$1$つずつ書かれた$13$枚のカードの中から$3$枚を選ぶとき，偶数が書かれたカードが$2$枚以上含まれる選び方は$\boxed{\text{（あ）}}$通りであり，$11$以上の数が書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる選び方は$\boxed{\text{（い）}}$通りである．

【１】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(2)　$\alpha =2+\sqrt{5}$とするとき，$\alpha$を解とし，整数を係数とする$2$次方程式$x^2+a_{1}x+b_1=0$を求めると$a_1=\boxed{\text{（う）}}\text{，}{b}_1=\boxed{\text{（え）}}$である．また自然数$n$に対して，${\alpha }^n$を解とし，整数を係数とする$2$次方程式を$x^2+a_{n}x+b_n=0$とすると，$b_n=\boxed{\text{（お）}}$であり，${a_n}^2+a_{2n}=\boxed{\text{（か）}}$である．

【１】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(3)　実数$m$に対して

$A(m)={\displaystyle {\int }_0^1}x{(e^x-m)}^{2}dx$

とおくと，関数$A(m)$は$m=\boxed{\text{（き）}}$のとき最小値$\boxed{\text{（く）}}$をとる．

【２】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

　数直線上の座標$1\text{，}2\text{，}3$で表される位置に置かれた点に対する次の操作$\mathrm{T}$を考える．

　以下，$n$を自然数とする．

(1)　$1$の位置に置かれている点$\mathrm{A}$に対し，操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，点$\mathrm{A}$が$1$の位置に置かれている確率を$p_n\text{，}2$の位置に置かれている確率を$q_n$とすると，$p_n=\boxed{\text{（あ）}}\text{，}{q}_n=\boxed{\text{（い）}}$である．

(2)　$2$の位置に置かれている点$\mathrm{B}$に対し，操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，点$\mathrm{B}$が$2$の位置に置かれている確率を${q_n}^{\prime }$とすると${q_n}^{\prime }=\boxed{\text{（う）}}$である．

(3)　$2$点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$がともに$1$の位置に置かれているとする．はじめに$\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を繰り返し行うとし，点$\mathrm{C}$が$1$の位置を離れた次の回からは$\mathrm{O}$君が加わって，$\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を繰り返し行うのと同時に，$\mathrm{K}$君とは独立に，$\mathrm{O}$君が点$\mathrm{D}$に対し操作$\mathrm{T}$を繰り返し行うとする．

(3ｰ1)　$\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，$2$点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$がともに$2$の位置に置かれている確率を$r_n$とすると$r_1=0\text{，}{r}_2=\boxed{\text{（え）}}$であり，一般に$n\geqq 2$に対して$r_n=\boxed{\text{（お）}}$である．

(3ｰ2)　$\mathrm{K}$君が点$\mathrm{C}$に対し操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行った時点で，$2$点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$がどちらも$2$の位置に置かれていない確率を$s_n$とすると$s_1=\boxed{\text{（か）}}$である．また一般に$n\geqq 2$に対して$s_n-r_n=\boxed{\text{（き）}}$である．

【３】　以下の文章の空欄に適切な式を入れて文章を完成させなさい．また，設問(3)(ⅱ)に答えなさい．

　放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$を$C$で表す．$C$上にない点$\mathrm{P}(X,Y)(\text{ただし}Y<{\displaystyle \frac{1}{2}}{X}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}})$から$C$に引いた$2$本の接線のうち，接点の$x$座標が小さい方を$l_1$とし，大きい方を$l_2$とする．また$l_1\text{，}{l}_2$と$C$との接点をそれぞれ${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2$とする．

(1)　接線$l_1\text{，}{l}_2$の傾き$m_1\text{，}{m}_2$はそれぞれ$m_1=\boxed{\text{（あ）}}\text{，}{m}_2=\boxed{\text{（い）}}$である．

(2)　${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2$における$C$の法線をそれぞれ$L_1\text{，}{L}_2$とするとき，$L_1$と$L_2$の交点$\mathrm{R}$の座標を$X\text{，}Y$を用いた式で表すと

$(\boxed{\text{（う）}},\boxed{\text{（え）}})$

である．

(3)　$\angle {\mathrm{Q}}_1\mathrm{P}{\mathrm{Q}}_2$が一定値$\alpha$（ただし$0<\alpha <\pi$）となるような点$\mathrm{P}(X,Y)$の軌跡を$S(\alpha )$で表す．

(ⅰ)　$S\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$の方程式は$\boxed{\text{（お）}}$である．

(ⅱ)　$\alpha \ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のときに$S(\alpha )$を求めなさい．

(4)　点$\mathrm{P}(X,Y)$が$S\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$の上を動くとき，点$\mathrm{R}$が描く軌跡の方程式は$\boxed{\text{（か）}}$である．

【４】　以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

　三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1\text{，}\angle \mathrm{BAC}=2\theta$とする．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の内接円$C_1$の半径を$R_1(\theta )$とする．$R_1(\theta )$を$\theta$の式で表すと$R_1(\theta )=\boxed{\text{（あ）}}$である．また$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で変化させるときに$R_1(\theta )$が最大値をとるような$\theta$の値を${\theta }_1$とすると

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\sin }^k{\theta }_1=\boxed{\text{（い）}}$

が成り立つ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の内側に次のように円$C_2\text{，}{C}_3\text{，}\cdots \text{，}{C}_n\text{，}\cdots$を作る．円$C_1$の外側にあって円$C_1$および辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$に同時に接する円を$C_2$とし，円$C_1\text{，}{C}_2$の外側にあって円$C_2$および辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$に同時に接する円を$C_3$とする．以下同様に自然数$n\geqq 2$に対して，円$C_1\text{，}{C}_2\text{，}\cdots \text{，}{C}_{n-1}$の外側にあって円$C_{n-1}$および辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$に同時に接する円を$C_n$とする．$C_n$の半径$R_n(\theta )$を$\theta$と$n$の式で表すと$R_n(\theta )=\boxed{\text{（う）}}$である．

(3)　$x$の$2$次式$g_n(x)=\boxed{\text{（え）}}$に対して

${\displaystyle \frac{d}{d\theta }}\log R_n(\theta )=-{\displaystyle \frac{g_n(\sin \theta )}{\sin \theta \cos \theta }}$

が成り立つ．また$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で変化させるときに$R_n(\theta )$が最大値をとるような$\theta$の値を${\theta }_n$とすると$\sin {\theta }_n=\boxed{\text{（お）}}$である．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }n\sin {\theta }_n=\boxed{\text{（か）}}$である．このことから，$\theta ={\theta }_n$のときの円$C_n$の面積$S_n$に対して$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{S}_n=\boxed{\text{（き）}}$が成り立つ．