2014　上智大学　地球法,英語,心理学科2月3日実施MathJax

【１】

(1)　整式$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$は，$x^2+3$で割ると余りは$x+3$であり，$x^2+x+2$で割ると余りは$3x+5$である．このとき，

$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}\text{，}c=\boxed{\text{ウ}}\text{，}d=\boxed{\text{エ}}$

である．

【１】

(2)　$x$の関数

$f(x)={({\log }_{2}x)}^2+{\log }_2(\sqrt{2}x)$

は，$x={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$のとき最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$をとる．

【１】

(3)　総数$100$本のくじがあり，その当たりくじの賞金と本数は右の表の通りである．この中なら$1$本のくじを引くときの賞金の期待値は$\boxed{\text{ケ}}$円であり，$2$本のくじを同時に引くときの賞金の合計金額の期待値は$\boxed{\text{コ}}$円である．

【２】　$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=3\text{，}\mathrm{CA}=2$である$▵\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$上を動く点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{AP}=t$とする．点$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PR}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$と一致するとき，点$\mathrm{Q}$も点$\mathrm{A}$と一致し，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{B}$と一致するとき，点$\mathrm{R}$も点$\mathrm{B}$と一致するものとする．

(1)　$\mathrm{CQ}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}t+\boxed{\text{ス}}\text{，}\mathrm{CR}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}t+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$である．

(2)　$\mathrm{QR}$は$t=\boxed{\text{ツ}}$のとき最大値$\boxed{\text{テ}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}}$をとり，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$のとき最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$をとる．

(3)　$▵\mathrm{CQR}$の面積は$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$のとき最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}$をとる．

【３】　$a\geqq a$とし

$S(a)={\displaystyle {\int }_0^1}|x^2+2ax+a^2-1|dx$

とおく．

(1)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき$S(a)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}$である．

(2)　等式

$S(a)={\displaystyle {\int }_0^1}(x^2+2ax+a^2-1)dx$

が成り立つ$a$の範囲は$a\geqq \boxed{\text{ミ}}$である．

(3)　$a\geqq \boxed{\text{ミ}}$のとき

$S(a)=\boxed{\text{ム}}{a}^2+\boxed{\text{メ}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}$

であり，$0\leqq a<\boxed{\text{ミ}}$のとき

$S(a)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}{a}^3+\boxed{\text{ラ}}{a}^2+\boxed{\text{リ}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ル}}}{\boxed{\text{レ}}}}$

である．

(4)　$S(a)$は$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ロ}}+\sqrt{\boxed{\text{ワ}}}}{\boxed{\text{ヲ}}}}$のとき最小値をとる．