2014　上智大学　文,総合人間,外国語学部2月4日実施MathJax

【１】　正三角形$\mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{AD}\text{，}$点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{BE}$とする．$▵\mathrm{ABD}$の内心を$\mathrm{O}$とするとき，内接円$O$の半径は$1$である．円$O$と$3$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BD}$との接点をそれぞれ$\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$とする．

(1)　$\mathrm{AE}=\boxed{\text{ア}}+\sqrt{\boxed{\text{イ}}}$である．

(2)　$\mathrm{AF}=\boxed{\text{ウ}}+\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$である．

(3)　$\mathrm{AO}=\sqrt{\boxed{\text{オ}}}+\sqrt{\boxed{\text{カ}}}$である．ただし，$\boxed{\text{オ}}<\boxed{\text{カ}}$とする．

(4)　$\mathrm{FG}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キ}}}+\sqrt{\boxed{\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．ただし，$\boxed{\text{キ}}<\boxed{\text{ク}}$とする．

(5)　円$O$の点$\mathrm{H}$を含まない弧$\mathrm{FG}$と線分$\mathrm{AF}$および線分$\mathrm{AG}$で囲まれた図形の面積は

$\boxed{\text{コ}}+\sqrt{\boxed{\text{サ}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\pi$

である．

【２】　座標平面において，放物線$C\text{：}y=-x^2+3x$と直線$l\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}x$で囲まれた領域を$S$とする．ただし，$S$は境界線を含むものとする．

(1)　$C$と$l$の共有点は，原点$\mathrm{O}$と点$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}})$である．

(2)　点$\mathrm{P}(-1,3)$を通り傾きが$a$の直線$m$が，領域$S$と共有点をもつとする．このとき，$a$の範囲は

$\boxed{\text{ツ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{テ}}+\boxed{\text{ト}}\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$

である．

(3)　$a=\boxed{\text{テ}}+\boxed{\text{ト}}\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$のとき，直線$m$と領域$S$の共有点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\boxed{\text{ニ}}+\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}$である．

(4)　$▵\mathrm{OPQ}$の面積は$\boxed{\text{ネ}}+\boxed{\text{ノ}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}$である．

(5)　線分$\mathrm{OP}\text{，}$線分$\mathrm{PQ}$および放物線$C$で囲まれた図形の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}\sqrt{\boxed{\text{マ}}}$

である．

【３】　座標平面上に$3$点

$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(\cos 2t,\sin 2t)\text{，}\mathrm{C}(\cos (-t),\sin (-t))$

がある．ただし，$0<t<2\pi$とする．

(1)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のうち，少なくとも$2$点が一致するような$t$は全部で$\boxed{\text{ミ}}$個あり，その中で最大の$t$は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}\pi$である．

　以下$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標がすべて異なる場合を考える．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$が直角三角形となるような$t$は全部で$\boxed{\text{モ}}$個あり，その中で最大の$t$は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}\pi$である．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$が$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$を満たすような$t$は全部で$\boxed{\text{ヨ}}$個あり，その中で最大の$t$は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}}\pi$である．

(4)　$▵\mathrm{ABC}$が$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$を満たすような$t$は全部で$\boxed{\text{ル}}$個あり，その中で最大の$t$は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{レ}}}{\boxed{\text{ロ}}}}\pi$である．