2014　上智大学　法学部2月5日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{\text{あ}}\text{〜}\boxed{\text{お}}$に当てはまるものを，下の選択肢から選べ．

(1)　$x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$は$3x^2-13x-10=0$であるための$\boxed{\text{あ}}$

(2)　$n$を自然数とする．$n^2$が$5$の倍数であることは，$n$が$5$の倍数であるための$\boxed{\text{い}}$

(3)　$a\text{，}b$を自然数とする．${(a+b)}^2$が奇数であることは，$ab$が偶数であるための$\boxed{\text{う}}$

(4)　平面上の異なる$2$つの円$C\text{，}{C}^{\prime }$の半径をそれぞれ$r\text{，}{r}^{\prime }$とし，中心間の距離を$d$とする．ただし，$r<r^{\prime }$とする．このとき，$C$と$C^{\prime }$が共有点をもたないことは，$d>r+r^{\prime }$であるための$\boxed{\text{え}}$

(5)　$\mathrm{AB}=8\text{，}\mathrm{BC}=5\text{，}\mathrm{CA}=7$の$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の延長上に$\mathrm{CD}=4$となる点$\mathrm{D}$をとり，辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AE}=3$となる点$\mathrm{E}$をとる．このとき，辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{F}$に対して，$\mathrm{AF}=3$であることは，$3$点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$が一直線上にあるための$\boxed{\text{お}}$

選択肢：

$\text{①}$　必要条件であるが十分条件ではない．

$\text{②}$　十分条件であるが必要条件ではない．

$\text{③}$　必要十分条件である．

$\text{④}$　必要条件でも十分条件でもない．

【２】　$\mathrm{AB}=8\text{，}\mathrm{BC}=5\text{，}\angle \mathrm{B}=60\mathrm{°}$の$▵\mathrm{ABC}$がある．

(1)　$\mathrm{AC}=\boxed{\text{ア}}\text{，}▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}\text{，}▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$である．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$である．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の点$\mathrm{B}$を含まない弧$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AD}=3$となる点$\mathrm{D}$をとる．このとき，$\mathrm{CD}=\boxed{\text{ク}}$である．

(4)　$\cos \angle \mathrm{BAD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\text{，}\mathrm{BD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．

(5)　$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{AED}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$である．

【３】　$a$を$-1$でない実数とし，座標平面において，放物線

$C\text{：}y=(x^2-2x+1)+a(x^2-5x+6)$

を考える．

(1)　$C$は，$a$の値によらず$2$点$\mathrm{P}(\boxed{\text{ソ}},\boxed{\text{タ}})\text{，}\mathrm{Q}(\boxed{\text{チ}},\boxed{\text{ツ}})$を必ず通る．ただし，$\boxed{\text{ソ}}<\boxed{\text{チ}}$とする．

(2)　点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l\text{，}$点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$l^{\prime }$とする．$l$と$l^{\prime }$の交点の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}a+\boxed{\text{ヌ}})$である．

(3)　$C$の軸は$x={\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{ネ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{a+\boxed{\text{ハ}}}})$である．

(4)　$C$が$x$軸と異なる$2$点で交わるのは

$a<\boxed{\text{ヒ}}$または$\boxed{\text{フ}}<a$（ただし$a\ne -1$）

のときである．

(5)　$a=\boxed{\text{フ}}$のとき，$C$は点$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}},0)$で$x$軸と接する．

(6)　$C$が$x$軸と$2$点$(\alpha ,0)\text{，}(\beta ,0)$（ただし$\alpha <\beta$）で交わるとき，$\beta -\alpha ={\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{5}$となるのは，$a=\boxed{\text{マ}}$または$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}$のときである．ただし，$\boxed{\text{マ}}<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}$とする．$a=\boxed{\text{マ}}$のとき，$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヤ}}}$である．