2014　上智大学　経済(経営)学部2月6日実施MathJax

【１】

　関数$f(x)$を

$f(x)=a\sin 2x-\sin x+\cos x$

とする．ただし，$a$を負の実数とする．

(1)　$t=-\sin x+\cos x$とおくと，$f(x)$は$t$を用いて

$\boxed{\text{ア}}a{t}^2+\boxed{\text{イ}}t+\boxed{\text{ウ}}a$

と表される．

(2)　$f(x)$は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}<a<0$のとき，

最大値$\boxed{\text{キ}}a+\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$

最小値$\boxed{\text{ケ}}a+\boxed{\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$

をとり，$a\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}$のとき，

最大値$\boxed{\text{シ}}a+\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$

最小値$\boxed{\text{セ}}a+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ソ}}a}}$

をとる．

【２】　一辺の長さが$1$の正方形のタイルと，辺の長さが$1$と$2$の長方形のタイルの$2$種類のタイルを並べて，縦の長さ$2\text{，}$横の長さ$n$の長方形を形作ることを考え，タイルの並べ方の総数を$a_n$とする．$n=1$のとき，のように$a_1=2$であり，$n=2$のとき，

のように$a_2=7$である．また，

のような図形を上の$2$種類のタイルで形作るときのタイルの並べ方の総数を$b_n$とし，

のような図形を上の$2$種類のタイルで形作るときのタイルの並べ方の総数を$c_n$とする．このとき，$b_1=c_1=1\text{，}{b}_2=c_2=3$である．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_3=\boxed{\text{タ}}\text{，}{b}_3=\boxed{\text{チ}}\text{，}{c}_3=\boxed{\text{ツ}}$である．

(2)　$b_n=\boxed{\text{テ}}{c}_n$であることを注意すると，

$a_{n+1}=\boxed{\text{ト}}{a}_n+\boxed{\text{ナ}}{a}_{n-1}+\boxed{\text{ニ}}{b}_n\text{（}n\geqq 2\text{）}$

$b_{n+1}=\boxed{\text{ヌ}}{a}_n+\boxed{\text{ネ}}{b}_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$

である．よって，$n\geqq 2$のとき，漸化式

$a_{n+2}=\boxed{\text{ノ}}{a}_{n+1}+\boxed{\text{ハ}}{a}_n+\boxed{\text{ヒ}}{a}_{n-1}$

$b_{n+2}=\boxed{\text{フ}}{b}_{n+1}+\boxed{\text{ヘ}}{b}_n+\boxed{\text{ホ}}{b}_{n-1}$

を得る．

(3)　$a_4=\boxed{\text{マ}}$である．

【３】　$2$つのさいころ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$について，$1$から$6$までのそれぞれの目の出る確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$であるとする．$2$つのさいころを投げ，$\mathrm{A}$の目を$m\text{，}\mathrm{B}$の目を$n$とする．さらに，座標平面上の$2$つの放物線$C_1$と$C_2$を，次の条件を満たすものとする．

$C_1$：原点$\mathrm{O}$を頂点とし，下に凸で，点$\mathrm{P}(m,n)$を通る

$C_2$：点$(0,{\displaystyle \frac{13}{2}})$を頂点とし，上に凸で，点$\mathrm{P}(m,n)$を通る

(1)　放物線$C_1$と$C_2$の方程式をそれぞれ$y=f(x)\text{，}y=g(x)$とするとき，

$f(x)={\displaystyle \frac{n}{m^2}}{x}^2\text{，}g(x)={\displaystyle \frac{1}{m^2}}(\boxed{\text{ミ}}n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}})x^2+{\displaystyle \frac{13}{2}}$

である．

(2)　$x\geqq 0$の範囲で，放物線$C_1\text{，}{C}_2\text{，}$および$y$軸で囲まれた領域の面積$S$を$m$と$n$の式で表すと，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}m+\boxed{\text{ユ}}n$である．したがって，$S$の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヨ}}}{\boxed{\text{ラ}}}}$である．また，$10\leqq S\leqq 20$を満たす$(m,n)$の組み合わせは，全部で$\boxed{\text{リ}}$通りある．

(3)　$C_1$と$C_2$の点$\mathrm{P}(m,n)$における接線を，それぞれ$l_1\text{，}{l}_2$とおく．$l_1$と$l_2$は，$(m,n)=(\boxed{\text{ル}},\boxed{\text{レ}})$のときに垂直に交わる．このとき，$l_1$と$x$軸との交点の$x$座標は$x=\boxed{\text{ロ}}\text{，}$また，$l_2$と$x$軸との交点の$x$座標は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ワ}}}{\boxed{\text{ヲ}}}}$である．