2014　上智大学　法(法律),外国語学部2月9日実施MathJax

【１】

(1)　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^1}|(x-1)(x-t)|dt$

とする．

$x\leqq \boxed{\text{ア}}\text{，}x\geqq \boxed{\text{イ}}$のとき，

$f(x)=\boxed{\text{ウ}}{x}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$

$\boxed{\text{ア}}<x<\boxed{\text{イ}}$のとき，

$f(x)=\boxed{\text{ク}}{x}^3+\boxed{\text{ケ}}{x}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

である．また，関数$f(x)$は$x=\boxed{\text{セ}}$のとき，最小値$\boxed{\text{ソ}}$をとる．

【１】

(2)　自然数$m\text{，}n$が

${\displaystyle \frac{1}{m}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}<{\displaystyle \frac{1}{3}}$

を満たすとき，${\displaystyle \frac{1}{m}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$である．

【２】　$a$を$0$以上の実数とする．区間$0\leqq x\leqq 3$において，関数$f(x)$を

$0\leqq x\leqq 1$のとき，$f(x)=-a{x}^2+1$

$1<x\leqq 3$のとき，$f(x)=-a{x}^2+x$

とする．各$a$に対して，$f(x)$の最大値を$M(a)\text{，}$最小値を$m(a)$とおく．

(1)　$M(a)-m(a)$は，

$\begin{array}{ll}0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\text{のとき，}& \boxed{\text{ト}}a+\boxed{\text{ナ}}\\ {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}<a\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\text{のとき，}& {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}{a}^2+\boxed{\text{ノ}}a+1}{\boxed{\text{ハ}}}}\\ a>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\text{のとき，}& \boxed{\text{ヒ}}a+\boxed{\text{フ}}\end{array}$

である．

(2)　$M(a)-m(a)$は，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$のとき，最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$をとる．

【３】　$xy$平面の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円形の壁の内側に鏡をはり，点$(1,0)$から鏡の$1$点に向けて光を発し反射させる．ただし，壁と鏡の厚さは無視できるものとする．光は，あたった鏡の$1$点と原点を結ぶ直線に関して対称な方向へ反射される．

　例えば，$(1,0)$から$(0,1)$に向けて発せられた光は右図のように$(1,0)\text{，}(-1,0)\text{，}(0,-1)$で$3$回反射され，$(1,0)$にもどってくる．

　$y$座標が正の方向へ光を発するものとして，以下の問いに答えよ．

(1)　光が鏡で$2$回は反射されて初めて$(1,0)$にもどるには，鏡の$1$点$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}},{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{モ}}}}{\boxed{\text{ヤ}}}})$に向けて光を発すればよい．

(2)　光が鏡で$4$回反射されて初めて$(1,0)$にもどるには，$(\cos {\theta }_1,\sin {\theta }_1)\text{，}(\cos {\theta }_2,\sin {\theta }_2)\text{（}0<{\theta }_1<{\theta }_2<\pi \text{）}$のいずれかに向けて光を発すればよい．ここで，${\theta }_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}\pi \text{，}{\theta }_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}}}}\pi$である．このとき，

$\cos {\theta }_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ル}}+\sqrt{\boxed{\text{レ}}}}{\boxed{\text{ロ}}}}$

である．

(3)　光が鏡で$6$回反射されて初めて$(1,0)$にもどるには，$\mathrm{A}(\cos {\theta }_3,\sin {\theta }_3)\text{，}\mathrm{B}(\cos {\theta }_4,\sin {\theta }_4)\text{，}\mathrm{C}(\cos {\theta }_5,\sin {\theta }_5)\text{（}0<{\theta }_3<{\theta }_4<{\theta }_5<\pi \text{）}$のいずれかに向けて光を発すればよい．ここで，${\theta }_5={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ワ}}}{\boxed{\text{ヲ}}}}$である．

(4)　(3)で$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$それぞれに向けて光を発したときの光の通る経路を図示すると，$\mathrm{A}$の場合は$\boxed{\text{あ}}\text{，}\mathrm{B}$の場合は$\boxed{\text{い}}\text{，}\mathrm{C}$の場合は$\boxed{\text{う}}$である．

　$\boxed{\text{あ}}\text{〜}\boxed{\text{う}}$には以下の(a)〜(f)からふさわしいものを選べ．

(a)	(b)	(c)
(d)	(e)	(f)

(5)　光が鏡で$31$回反射されて初めて$(1,0)$にもどるような光の発し方は$\boxed{\text{ン}}$通りである．