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2014-13363-0901
2014 上智大学 理工学部B方式
2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】
(1) 初項と公比が正である等比数列 { an } があり,初項 a 1 は整数で, a1 +a4 =18 であるとする.
(ⅰ) {a n} の公比が整数であるとき, {a n} の初項となり得る数のうち最小のものは ア である.
(ⅱ) { an } からつくられた無限等比級数
a1 +a2 +⋯+ an+ ⋯
が収束し,かつ公比が有理数であるとき, a1 = イ であり,この無限等比級数の和は ウ である.
2014-13363-0902
(2) 定義域が実数全体であり値が実数である関数 f ⁡( x) に関する命題
P: x≧3 ならば f ⁡(x )<2 である
を考える. P の否定となっている命題を選択肢から 2 つ選べ.(解答欄 あ に 2 つマークせよ.)
選択肢:
(a) x<3 ならば f ⁡(x )≧ 2 である.
(b) x≧3 ならば f ⁡(x )≧2 である.
(c) f⁡( x)≧ 2 ならば x <3 である.
(d) f⁡( x)≧ 2 となる x ≧3 が存在する.
(e) f⁡( x)< 2 となる x <3 が存在する.
(f) f⁡( x)< 2 となる x ≧3 が存在する.
(g) f⁡( x)< 2 ならば x ≧3 である.
(h) y≧3 かつ f ⁡(y )≧2 を満たす実数 y が存在する.
2014-13363-0903
(3) 右図において, 9 つの点 A 〜 I のどれか 1 つから出発し一筆書きで 2 つの線分をたどって 3 つの異なる点を結ぶ方法を考える.ただし,同じ 3 点を通るが出発点の異なる結び方は互いに区別するものとする.
(ⅰ) A を出発点とする方法は エ 通りある.
(ⅱ) E を出発点とする方法は オ 通りある.
(ⅲ) 9 つの点 A 〜 I のどれか 1 つから出発する方法は全部で カ 通りある.
2014-13363-0904
【2】 xyz 空間において, xy 平面に原点 O ( 0,0, 0) で接し,中心が C ( 0,0, 1) であるような球面を S とする.点 P ( 2⁢3 ,0, 3) に点光源をおくとき, xy 平面上にできる S の影 S′ を考える.
(1) 点 P から球面 S に引いた接線の一つと球面との接点を A とする.線分 PA の長さは キ である. ∠CPA= θ とすると, sin⁡θ = ク ケ である.
(2) 球面 S 上で光が当たる部分と影の部分との境界は, ( コ サ , シ , ス セ ) を中心とし,半径が ソ タ の円である.
(3) 影 S ′ は長軸の長さが チ ⁢ ツ の楕円の内部である.
2014-13363-0905
【3】 f⁡( x)= 14 ⁢( x3- 3⁢x2 -9⁢x +3) とする.
(1) 関数 f ⁡(x ) は, x= テ で極大値 ト をとり, x= ナ で極小値 ニ をとる.
(2) y=f ⁡( x) のグラフと y 軸との交点における接線の方程式は, y= ヌ ネ ⁢ x+ ノ ハ である.
(3) 実数からなる集合
A= {x |f ⁡(x )>0 }, B= {x |x ≧b}
を考える.ただし, b は整数とする.
(ⅰ) A⊂ B となる最大の整数 b は ヒ である.
(ⅱ) B⊂ A となる最小の整数 b は フ である.
(ⅲ) b∈A であり, B⊂ A とならない整数 b は ヘ 個ある.
2014-13363-0906
【4】(1) ∫0 ut ⁢e- t⁢d t= ホ ⁢ u⁢e -u+ マ ⁢ e-u + ミ であり,これより
limu →∞ ∫0u t⁢e -t ⁢dt= ム
である.
(2) 定義域が実数全体であり値が実数である連続関数 f ⁡(x ) と正の定数 a が次の 2 つの条件(ⅰ),(ⅱ)を満たしているとする.
(ⅰ) 任意の実数 x に対して
∫ 02 (3⁢ x+t) ⁢et -x⁢ f⁡( t)⁢ dt=a ⁢f⁡( x)
が成り立つ.
(ⅱ) limu →∞ ∫0u f⁡( t)⁢ dt=1 が成り立つ.
このとき a = メ + モ ⁢ ヤ であり,また
f⁡( x)= (3⁢ A⁢x+ B)⁢ ek⁢ x
ただし, A= ユ + ヨ ⁢ ラ B= リ + ル ⁢ レ k= ロ