2014　上智大学　理工学部B方式2月7日実施MathJax

【１】

(1)　初項と公比が正である等比数列$\{a_n\}$があり，初項$a_1$は整数で，$a_1+a_4=18$であるとする．

(ⅰ)　$\{a_n\}$の公比が整数であるとき，$\{a_n\}$の初項となり得る数のうち最小のものは$\boxed{\text{ア}}$である．

(ⅱ)　$\{a_n\}$からつくられた無限等比級数

$a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots$

が収束し，かつ公比が有理数であるとき，$a_1=\boxed{\text{イ}}$であり，この無限等比級数の和は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】

(2)　定義域が実数全体であり値が実数である関数$f(x)$に関する命題

$\mathrm{P}\text{：}x\geqq 3$ならば$f(x)<2$である

を考える．$\mathrm{P}$の否定となっている命題を選択肢から$2$つ選べ．（解答欄$\boxed{\text{あ}}$に$2$つマークせよ．）

選択肢：

(a)　$x<3$ならば$f(x)\geqq 2$である．

(b)　$x\geqq 3$ならば$f(x)\geqq 2$である．

(c)　$f(x)\geqq 2$ならば$x<3$である．

(d)　$f(x)\geqq 2$となる$x\geqq 3$が存在する．

(e)　$f(x)<2$となる$x<3$が存在する．

(f)　$f(x)<2$となる$x\geqq 3$が存在する．

(g)　$f(x)<2$ならば$x\geqq 3$である．

(h)　$y\geqq 3$かつ$f(y)\geqq 2$を満たす実数$y$が存在する．

【１】

(3)　右図において，$9$つの点$\mathrm{A}\text{〜}\mathrm{I}$のどれか$1$つから出発し一筆書きで$2$つの線分をたどって$3$つの異なる点を結ぶ方法を考える．ただし，同じ$3$点を通るが出発点の異なる結び方は互いに区別するものとする．

(ⅰ)　$\mathrm{A}$を出発点とする方法は$\boxed{\text{エ}}$通りある．

(ⅱ)　$\mathrm{E}$を出発点とする方法は$\boxed{\text{オ}}$通りある．

(ⅲ)　$9$つの点$\mathrm{A}\text{〜}\mathrm{I}$のどれか$1$つから出発する方法は全部で$\boxed{\text{カ}}$通りある．

【２】　$xyz$空間において，$xy$平面に原点$\mathrm{O}(0,0,0)$で接し，中心が$\mathrm{C}(0,0,1)$であるような球面を$S$とする．点$\mathrm{P}(2\sqrt{3},0,3)$に点光源をおくとき，$xy$平面上にできる$S$の影${\mathrm{S}}^{\prime }$を考える．

(1)　点$\mathrm{P}$から球面$S$に引いた接線の一つと球面との接点を$\mathrm{A}$とする．線分$\mathrm{PA}$の長さは$\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$である．$\angle \mathrm{CPA}=\theta$とすると，$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

(2)　球面$S$上で光が当たる部分と影の部分との境界は，$({\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}}},\boxed{\text{シ}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}})$を中心とし，半径が${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$の円である．

(3)　影$S^{\prime }$は長軸の長さが$\boxed{\text{チ}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$の楕円の内部である．

【３】　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}(x^3-3x^2-9x+3)$とする．

(1)　関数$f(x)$は，$x=\boxed{\text{テ}}$で極大値$\boxed{\text{ト}}$をとり，$x=\boxed{\text{ナ}}$で極小値$\boxed{\text{ニ}}$をとる．

(2)　$y=f(x)$のグラフと$y$軸との交点における接線の方程式は，$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．

(3)　実数からなる集合

$\mathrm{A}=\{x|f(x)>0\}\text{，}\mathrm{B}=\{x|x\geqq b\}$

を考える．ただし，$b$は整数とする．

(ⅰ)　$\mathrm{A}\subset \mathrm{B}$となる最大の整数$b$は$\boxed{\text{ヒ}}$である．

(ⅱ)　$\mathrm{B}\subset \mathrm{A}$となる最小の整数$b$は$\boxed{\text{フ}}$である．

(ⅲ)　$b\in \mathrm{A}$であり，$\mathrm{B}\subset \mathrm{A}$とならない整数$b$は$\boxed{\text{ヘ}}$個ある．

【４】(1)　${\displaystyle {\int }_0^u}t{e}^{-t}dt=\boxed{\text{ホ}}u{e}^{-u}+\boxed{\text{マ}}{e}^{-u}+\boxed{\text{ミ}}$であり，これより

$\underset{u\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^u}t{e}^{-t}dt=\boxed{\text{ム}}$

である．

(2)　定義域が実数全体であり値が実数である連続関数$f(x)$と正の定数$a$が次の$2$つの条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たしているとする．

　このとき$a=\boxed{\text{メ}}+\boxed{\text{モ}}\sqrt{\boxed{\text{ヤ}}}$であり，また

$f(x)=(3Ax+B)e^{kx}$

$\begin{array}{cc}\text{ただし，}& A=\boxed{\text{ユ}}+\boxed{\text{ヨ}}\sqrt{\boxed{\text{ラ}}}\\ & B=\boxed{\text{リ}}+\boxed{\text{ル}}\sqrt{\boxed{\text{レ}}}\\ & k=\boxed{\text{ロ}}\end{array}$

である．