Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2014年度一覧へ
大学別一覧へ
理科大一覧へ
2014-13442-0201
2014 東京理科大学 理工学部B方式
情報科,工業化,機械工,土木工学科
2月4日実施
(2),(3)と合わせて配点40点
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章の ア から リ までに当てはまる数字 0 〜 9 を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.
(1) y=e x⁢( 3⁢sin⁡ 2⁢x- cos⁡x ) とする.このとき
y′= ex⁢ ( ア ⁢ sin⁡2⁢ x+ イ ⁢ cos⁡2⁢ x+sin⁡ x-cos⁡ x)
y″= ex⁢ (- ウ ⁢ sin⁡2⁢ x+ エ オ ⁢ cos ⁡2⁢x +2⁢sin ⁡x)
となり,
y″- カ ⁢ y′+ キ ⁢ y=-3 ⁢ex ⁢cos⁡ x
を満たす.ただし, e は自然対数の底であり, y′ , y″ はそれぞれ y の第 1 次,第 2 次導関数を表す.
2014-13442-0202
(1),(3)と合わせて配点40点
(2) ▵OAB において,辺 OA を 3 :2 に内分する点を M , 辺 OB を 2 :1 に内分する点を N とする.このとき
OM→ = ク ケ ⁢ OA → ,ON →= コ サ ⁢ OB→
であり,線分 AN と線分 BM の交点を P とすると
AP:PN= シ : ス , BP:PM = セ : ソ
である.ゆえに,三角形の面積について,
▵APM= タ チ ⁢ ▵PAB , ▵BPN = ツ テ ⁢ ▵APB
となるので
▵APM: ▵BPN= ト : ナ
である.
2014-13442-0203
(1),(2)と合わせて配点40点
(3) 2 つのコイン A と B がある.コイン A を投げると,表,裏が出る確率は,それぞれ 12 である.コイン B を投げると,表が出る確率は 2 3 , 裏が出る確率は 13 である.この 2 つのコインをそれぞれ n 回ずつ投げる試行において,コイン A について表が出る確率を a とし,コイン B について表が出る回数を b とする.さらに, a<b となる確率を p とし, a>b となる確率を q とする.
(a) n=1 のとき, p= ニ ヌ ,q= ネ ノ である.
(b) n=2 のとき, p= ハ ヒ ,q = フ ヘ ホ である.
(c) n=3 のとき, p= マ ミ ム メ モ ,q= ヤ ユ ヨ ラ リ である.
2014-13442-0204
30点
【2】 座標平面において,曲線 C :y= 2x と直線 l :y=x を考える.また, 2 点 A ( 2, 2) と T ( t2 , t2 ) をとる.ただし, t>2 とする.さらに,点 T を通り直線 l に直交する直線が,曲線 C と交わる 2 点のうち, x 座標が大きい方を P とする.
(1) 点 P の x 座標を p とするとき, p を用いて t を表せ.
(2) 2 つの線分 AT , PT と曲線 C で囲まれる図形を,直線 l のまわりに 1 回転して得られる回転体の体積 V ⁡(t ) を求めよ.
(3) 三角形 APT を,直線 l のまわりに 1 回転して得られる回転体の体積 W⁡( t) を求めよ.
(4) (2),(3)で求めた V ⁡( t) ,W ⁡(t ) に対して, limt →2 W⁡( t) V⁡( t) を求めよ.
2014-13442-0205
【3】 a を正の実数とする. 1 次変換 f により,点 ( a,-a +1) は点 (3 , 3-3⁢ aa ) に移り,点 ( -a,a ) は点 ( -4,4 ) に移るとする. f を表す行列を A とする. P=( a -a -a+1 a ) とおき,行列 B を A ⁢P=P ⁢B を満たすものとする.
(1) P の逆行列 P -1 を, a を用いて表せ.
(2) 自然数 n に対し, Bn を, a と n を用いて表せ.
(3) 数列 { xn }, { yn } が
( xn yn ) =An ⁢( 1 1 )( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ )
を満たすとする. a=4 のとき, xn -yn を n を用いて表し, limn →∞ ( xn- yn ) を求めよ.