2014　東京理科大学　理工学部B方式2月5日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ン}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和を$S_n$と表す．すべての自然数$n$に対して

$S_n=-{\displaystyle \frac{3}{4}}{a}_n+2n+5$

が成り立つとする．このとき

$a_1=\boxed{\text{ア}}$

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}{a}_n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．これより

$a_n=\boxed{\text{カ}}\times {\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\right)}^{n-1}+\boxed{\text{ケ}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

となる．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ン}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．なお，$\boxed{\text{タ}}$などは既出の$\boxed{\text{タ}}$などを表します．

(2)　$f(x)=x^4+2x^3-3x^2$とし，$xy$平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．曲線$C$上の点$(a,f(a))$における接線$l_a$の方程式は

$y=(\boxed{\text{コ}}{a}^3+\boxed{\text{サ}}{a}^2-\boxed{\text{シ}}a)x+(-\boxed{\text{ス}}{a}^4-\boxed{\text{セ}}{a}^3+\boxed{\text{ソ}}{a}^2)$

である．曲線$C$と接線$l_a$の共有点の$x$座標を$t$とおくと，$t$は

${(t-a)}^2\{t^2+(\boxed{\text{タ}}a+\boxed{\text{チ}})t+(\boxed{\text{ツ}}{a}^2+\boxed{\text{テ}}a-\boxed{\text{ト}})\}=0$

を満たす．ここで，$t$についての$2$次方程式

$t^2+(\boxed{\text{タ}}a+\boxed{\text{チ}})t+(\boxed{\text{ツ}}{a}^2+\boxed{\text{テ}}a-\boxed{\text{ト}})=0$

が重解をもつのは$a=-\boxed{\text{ナ}}\text{，}\boxed{\text{ニ}}$のときである．$a=\boxed{\text{ニ}}$のとき，$l_a$は点$(a,f(a))$以外に，$x$座標が$-\boxed{\text{ヌ}}$となる点においても曲線$C$に接する．このとき，$C$と$l_a$で囲まれた部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}\text{ヒ}}}}$である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ン}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，$3$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,6)\text{，}\mathrm{P}(3,4)$をとる．

(a)　直線$\mathrm{OP}$上の$\mathrm{O}$と異なる$2$点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$について，$▵\mathrm{OAC}$と$▵\mathrm{ODB}$は直角三角形であり，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$は平行であるとする．このとき

$\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}\text{，}\mathrm{BD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$

であり，また

$\mathrm{CD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}$

である．

(b)　直線$\mathrm{OP}$上の$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$t$とする．

まず，$▵\mathrm{OAQ}$の面積を$S_1\text{，}▵\mathrm{OBQ}$の面積を$S_2$とする．このとき，面積比$S_1:S_2$は$t$によらず一定であり，

$S_1:S_2=\boxed{\text{ヤ}}:\boxed{\text{ユ}}$

である．

次に，線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a\text{，}$線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする．このとき，$a-b$は$t$の関数であり，$f(t)=a-b$とおく．$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヨ}}}{\boxed{\text{ラ}}}}$のとき$f(t)=0$となり，このとき$a=b={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{リ}\text{ル}\text{レ}}}}{\boxed{\text{ロ}}}}$である．また$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ワ}\text{ヲ}}}{\boxed{\text{ン}}}}$である．

【２】　$xy$平面において，曲線$y={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x}}}\text{（}x>0\text{）}$と，$2$直線$x=1\text{，}y=1$で囲まれた図形を$D$とおく．

(1)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

(2)　$r<1$とする．$D$を直線$x=r$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$W$を，$r$を用いて表せ．

(3)　(1)，(2)で求めた$V\text{，}W$について，$V=W$となる$r$を求めよ．

(4)　(3)で求めた$r$は${\displaystyle \frac{2}{3}}$より大きいか小さいかを，理由とともに答えよ．必要であれば，自然対数の底$e$について，$e=2.718\cdots$を用いてよい．

【３】　座標空間において，$2$点$\mathrm{A}(0,3,6)\text{，}$$\mathrm{P}(\sqrt{5}\cos \theta ,2\sin \theta ,-\sin \theta )$$\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$を通る直線と，$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}(a,b,0)$とする．

(1)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}$間の距離$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{AP}}$となるような実数$t$を，$\theta$を用いて表せ．また，$a\text{，}$$b$を，$\theta$を用いて表せ．

(3)　$0\leqq \theta <2\pi$における$a$の最大値を求めよ．

(4)　$0<\theta <\pi$とする．このとき，$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$間の距離$d$を，$\theta$を用いて表せ．また，${\displaystyle \frac{d}{b}}$の値を求めよ．