2014　東京理科大学　理工学部B方式2月6日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヤ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$0\leqq x\leqq 9$に対して

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^3}|t^2-x|dx$

とおくと

$f(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}{x}^{\frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}-\boxed{\text{オ}}x+\boxed{\text{カ}}$

となり，$f(x)$は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$において最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$をとる．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヤ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　定数$a$に対して

$f(x)=3{\sin }^{2}x+9{\cos }^{2}x+4a\sin x\cos x$

とおく．このとき

$\begin{array}{ll}f(x)& =\boxed{\text{シ}}a\sin 2x+\boxed{\text{ス}}\cos 2x+\boxed{\text{セ}}\\ & =\sqrt{\boxed{\text{ソ}}{a}^2+\boxed{\text{タ}}}\sin (2x+\theta )+\boxed{\text{チ}}\end{array}$

となる．ここで，$\theta$は

$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\sqrt{\boxed{\text{テ}}{a}^2+\boxed{\text{ト}}}}}\text{，}\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}a}{\sqrt{\boxed{\text{ニ}}{a}^2+\boxed{\text{ヌ}}}}}$

を満たす．

$x$についての方程式$f(x)=0$が実数解を持つための必要十分条件は

$a^2\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$

である．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヤ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　自然数$x$対し

$f(x)={\displaystyle \frac{x^5+2x^4+x^3}{27}}\text{，}g(x)={\displaystyle \frac{x^4-x^2}{25}}$

とおき，$f(a)\text{，}g(a)$が自然数となる$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の自然数$a$の個数を，それぞれ求めたい．

(a)　$f(x)={\displaystyle \frac{x^{\boxed{\text{ヒ}}}{(x+1)}^{\boxed{\text{フ}}}}{3^3}}$である．

$a$が$3$の倍数となる$2$桁の自然数$a$の個数は$\boxed{\text{ヘ}\text{ホ}}$個である．

$a+1$が$9$の倍数となる$2$桁の自然数$a$の個数は$\boxed{\text{マ}\text{ミ}}$個である．

よって，$f(a)$が自然数となる$2$桁の自然数$a$の個数は$\boxed{\text{ム}\text{メ}}$個である．

(b)　$g(a)$が自然数となる$2$桁の自然数$a$の個数は$\boxed{\text{モ}\text{ヤ}}$個である．

【２】　$2$つの定数$a\text{，}b\text{（}a>0\text{）}$に対して，

$f(x)=\log (ax+1)\text{（}x\geqq 0\text{），}g(x)=x^2+b$

とおく．座標平面上の$2$曲線$C_1\text{：}y=f(x)\text{，}{C}_2\text{：}y=g(x)$が，ある点$\mathrm{P}$を共有し，その点$\mathrm{P}$で共通の接線$l$を持つとする．ただし，$\log$は自然対数を表す．

(1)　点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，$a$を用いて$t$を表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$の$x$座標が${\displaystyle \frac{1}{2}}$となるとき，$a$と$b$の値，および直線$l$の方程式を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$の$x$座標が${\displaystyle \frac{1}{2}}$となるとき，$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を定数とし，行列$A=\left(\begin{array}{cc}4& a\\ 3& b\end{array}\right)$が，$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$を満たすとする．座標平面において，行列$A$の表す$1$次変換を$f$とおく．まず，点${\mathrm{P}}_0(1,-3)$を考え，$x_0=1\text{，}{y}_0=-3$とおく．次に，自然数$n$に対し，点${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)$を，点${\mathrm{P}}_{n-1}$の$f$による像$f({\mathrm{P}}_{n-1})$と点${\mathrm{P}}_0$の中点とすることにより，点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots$を順に定める．

(1)　定数$a\text{，}b$を求めよ．

(2)　行列$A+A^2+A^3+\cdots +A^{101}$を求めよ．

(3)　自然数$n$に対し，$x_{2n}$を$x_{2n-2}$で表せ．また，$y_{2n}$を$y_{2n-2}$で表せ．

(4)　自然数$n$に対し，$x_{2n}$と$y_{2n}$を，$n$を用いて表せ．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2n}$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_{2n}$を求めよ．