2014　東京理科大学　薬学部B方式2月7日実施MathJax

【１】　放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)\text{（}0\leqq a<b\text{）}$に対して，$L(a,b)$を線分$\mathrm{AB}$の長さとし，$S(a,b)$を線分$\mathrm{AB}$と放物線$y=x^2$で囲まれた図形の面積とする．さらに，$T(a,b)$を$a\leqq x\leqq b$の範囲で放物線$y=x^2$と$x$軸で囲まれた図形の面積とする．

(1)(a)　$L(0,t)={\displaystyle \frac{1}{2}}L(0,1)$となるのは，$t^2={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ア}}}}(\sqrt{\boxed{\text{イ}}}-\boxed{\text{ウ}})$となるときである．

(b)　$L(0,t)=L(t,1)$となるのは，$t={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{エ}}}}(\sqrt{\boxed{\text{オ}}}-\boxed{\text{カ}})$のときである．

(2)(a)　$S(0,t)={\displaystyle \frac{1}{2}}S(0,2)$となるのは，${\log }_{2}t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$となるときである．

(b)　$T(t,2)=S(0,2)$となるのは，${\log }_{2}t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$となるときである．

【２】　$k$を定数として，$3$次方程式

$x^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-6x-k=0\cdots$(＊)

を考える．

(1)　この方程式が，異なる$3$つの実数解をもつような$k$の値の範囲は

$-\boxed{\text{ア}\text{イ}}<k<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\cdots$(＊＊)

である．

(2)　$k$が(＊＊)の範囲にあるとき，方程式(＊)の$3$つの解を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$（ただし$\alpha <\beta <\gamma$）とおく．

(a)　$k$が(＊＊)の範囲を動くとき，$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$の取りうる値の範囲は，それぞれ

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}<\alpha <-\boxed{\text{キ}}\text{，}-\boxed{\text{ク}}<\beta <\boxed{\text{ケ}}\text{，}\boxed{\text{コ}}<\gamma <{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

である．

(b)　$k$が(＊＊)の範囲を動くとき，$\alpha$と$\gamma$の積$\alpha \beta$が最小となるのは

$k=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}\text{セ}\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}}$

のときであって，$\alpha \gamma$の最小値は$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}\text{テ}\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}\text{ニ}}}}$である．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間の$x$軸上，$y$軸上，$z$軸上にそれぞれ点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$があり，$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{AC}=2$であるという．そのとき，$\mathrm{BC}=a$とおき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とおく．

(1)　$a$の取りうる値の範囲は

$\sqrt{\boxed{\text{ア}}}\leqq a\leqq \sqrt{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}$

である．

(2)(a)　$\cos \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}}(-a^2+\boxed{\text{カ}\text{キ}})$である．

(b)　$S^2={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}}(-a^4+\boxed{\text{コ}\text{サ}}{a}^2-\boxed{\text{シ}\text{ス}})$である．

(3)　$\mathrm{OA}=x$とおいて，$S^2$を$x$を用いて表すと

$S^2=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}{x}^4+\boxed{\text{タ}}$

となる．

(4)　$S=2\sqrt{2}$のとき，四面体$\mathrm{OABC}$に内接する球（すなわち，中心がこの四面体の内部にあって，すべての面と$1$点のみを共有する球）の半径を$r$とおく．

(a)　$r={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{1+\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}+\sqrt{\boxed{\text{ト}\text{ナ}}}}}$である．

(b)　$r=\boxed{\text{ニ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}-\boxed{\text{ヌ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}+\boxed{\text{ネ}}\sqrt{\boxed{\text{ト}\text{ナ}}}-\boxed{\text{ノ}}$となる．

【４】　$r$は$2$以上$9$以下の自然数とする．$n$を$r$以上の自然数として，次の条件を満たす$n$桁の自然数を考える．

(ⅰ)　各位の数は$1$から$r$までの数$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}r$のどれかである．

(ⅱ)　$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}r$のどの一つも必ずどこかの位に現れる．

このような自然数全体の集合を考え，この集合の要素の個数を${}_{r}S_n$とおく．また，この集合のすべての要素の和を$f_r(n)$とおく．

(1)　$r=2$とする．

(a)　${}_{2}S_2=\boxed{\text{ア}}\text{，}{}_{2}S_3=\boxed{\text{イ}}$である．

一般に，${}_{2}S_n={\boxed{\text{ウ}}}^n-\boxed{\text{エ}}$である．

(b)　$f_2(2)=\boxed{\text{オ}\text{カ}}\text{，}{f}_2(3)=\boxed{\text{キ}\text{ク}\text{ケ}}$である．

一般に，$f_2(n)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}({\boxed{\text{シ}\text{ス}}}^n-1)\cdot {}_{2}S_n$が成り立つ．

(2)　$r=3$とする．

(a)　${}_{3}S_n={\boxed{\text{セ}}}^n-\boxed{\text{ソ}}\cdot {\boxed{\text{ウ}}}^n+\boxed{\text{タ}}$である．

(b)　$f_3(n)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}({\boxed{\text{シ}\text{ス}}}^n-1)\cdot {}_{3}S_n$が成り立つ．

(3)　$r=4$とする．

(a)　${}_{4}S_n={\boxed{\text{テ}}}^n-\boxed{\text{ト}}\cdot {\boxed{\text{セ}}}^n+\boxed{\text{ナ}}\cdot {\boxed{\text{ウ}}}^n-\boxed{\text{ニ}}$である．

(b)　$f_4(n)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}\text{ノ}}}}({\boxed{\text{シ}\text{ス}}}^n-1)\cdot {}_{4}S_n$が成り立つ．