2014　東京理科大学　工学部B方式2月8日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(1)　座標平面に点$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0)$があり，等式$x^2+y^2-6x-8y+21=0$をみたすように点$\mathrm{P}(x,y)$を動かす．線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BP}$について考える．

${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2$は

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

のとき，最小値$\boxed{\text{カ}\text{キ}}$をとり，

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

のとき，最大値$\boxed{\text{セ}\text{ソ}\text{タ}}$をとる．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(2)　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，直線$x+2y=1$と楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$（$a\text{，}b$は実数の定数）は$2$つの交点をもつとする．この$2$つの交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし（$x$座標が小さい方を点$\mathrm{A}$とする），線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

$\mathrm{AB}=\sqrt{5}$かつ直線$\mathrm{OM}$の傾きが$1$となるのは，

$a^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\text{，}{b}^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}}$

のときである．このとき，点$\mathrm{A}$の座標は

$(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}})$

であり，点$\mathrm{B}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}},-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}})$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(3)　行列$A_0=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とし，$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，行列$A_k$を

$A_k=A_{k-1}+B_k$

と定める．ここで，行列$B_k$は次のように定める：

このような試行を繰り返し，$1$回目に取り出したカードに書かれている行列を$B_1\text{，}2$回目に取り出したカードに書かれている行列を$B_2$とし，一般に，$k$回目に取り出したカードに書かれている行列を$B_k$とする．このように定めた行列$A_k$が逆行列をもたない確率を$p_k$とする．

(a)　$p_3={\displaystyle \frac{1}{4^3}}\times \boxed{\text{ア}\text{イ}}$である．

(b)　$p_5={\displaystyle \frac{1}{4^5}}\times \boxed{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}$である．

(c)　$p_6={\displaystyle \frac{1}{4^6}}\times \boxed{\text{カ}\text{キ}\text{ク}}$である．

【２】　$a$を$a>0$かつ$a\ne 1$をみたす実数の定数として，等式

${\log }_{a}y={({\log }_{a}x)}^2-3{\log }_{a}x+3$

で定められる$x$の関数$y$について考える．

(1)　$y$を$x$で表しなさい．

(2)　$a=9$の場合を考える．

(a)　$x=3$のときの$y$の値を求めなさい．

(b)　$x$が正の実数全体を動くとき，$y$の最小値，および$y$が最小値をとるときの$x$の値を求めなさい．

(3)　$x$が正の実数全体を動くとき，定数$a$の値によって，$y$が最大値をもつことがある．$y$が最大値${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}$をとるように，$a$を定めなさい．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{{(x-1)}^2}{x^3}}\text{（}x>0\text{）}$を考える．

(1)　関数$f(x)$の極大値および極小値を求めなさい．

(2)　$y$軸上に点$\mathrm{P}(0,p)$をとる．$p$の値によって，$\mathrm{P}(0,p)$から曲線$y=f(x)$に何本の接線が引けるかを調べなさい．