2014　東京理科大学　工学部B方式2月9日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．

(1)　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で表される$1$次変換$f$を考える．$f$が以下の条件をみたすとする．

・平面上の各点$\mathrm{P}$に対して，点$\mathrm{P}$の$f$による像を${\mathrm{P}}^{\prime }$とすると，線分$\mathrm{OP}$の長さと線分${\mathrm{OP}}^{\prime }$の長さはつねに等しい

このとき，$b>0$として，以下の問いに答えなさい．

(a)　点$(1,0)$の$f$による像が$({\displaystyle \frac{3}{5}},{\displaystyle \frac{4}{5}})$のとき，行列$A$の成分は

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}c={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\text{，}d=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

である．

(b)　直線$y=4x$上にある点の$f$による像がつねに直線$y=4x$上にあるとき，行列$A$の成分は

$a=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}}\text{，}b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}\text{ソ}}}}\text{，}c={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}\text{ツ}}}}\text{，}d={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}\text{ニ}}}}$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．

(2)　数列$\{a_n\}$に関して，以下の問いに答えなさい．

(a)　$a_1=3\text{，}{a}_{n+1}=2a_n+5\cdot 3^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$のとき，$a_n$を$n$の式で表すと

$a_n=\boxed{\text{ア}}\cdot 3^n-\boxed{\text{イ}}\cdot 2^n$

である．

(b)　$a_1=1\text{，}{a}_2=5\text{，}{a}_{n+2}+10a_{n+1}+25a_n=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

のとき，$\alpha =\boxed{\text{ウ}}\text{，}\beta =-\boxed{\text{エ}}$に対して，

$a_{n+2}+\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}+\alpha a_n)$

が成り立つ．さらに数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}+\alpha a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$と定めれば，

$b_n=\boxed{\text{オ}\text{カ}}\cdot {(-5)}^{n-1}$

である．

したがって，$a_n$を$n$の式で表すと

$a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\cdot n\cdot {(-5)}^n-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\cdot {(-5)}^n$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．

(3)　座標平面において，円$C\text{：}{x}^2+{(y-1)}^2=1$を考える．点$\mathrm{P}(a,b)$（ただし$b>2$）をとり，点$\mathrm{P}$から円$C$へ引いた$2$本の接線が$x$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．

(a)　$\mathrm{AB}=4$となるように点$\mathrm{P}$を動かすとき，三角形$\mathrm{PAB}$の面積が最小となるのは，$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$のときである．

(b)　$\angle \mathrm{APB}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となるように点$\mathrm{P}$を動かすとき，次の等式

$a^2+\boxed{\text{エ}}{b}^2+\boxed{\text{オ}}a-\boxed{\text{カ}}b=\boxed{\text{キ}}$

がつねに成り立つ．

(c)　線分$\mathrm{AB}$の中点が$(2,0)$となるように点$\mathrm{P}$を動かすとき，次の等式

$a+\boxed{\text{ク}}b=\boxed{\text{ケ}}$

がつねに成り立つ．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　以下の定積分を求めなさい．

${\displaystyle {\int }_1^4}{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{2x+1}}}dx$

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　座標空間において，原点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$点$\mathrm{A}(0,1,1)$および点$\mathrm{B}(-1,0,2)$が定める平面を$\alpha$とする．また，$2$点$\mathrm{P}(3,2,2)$および$\mathrm{Q}(5,-5,-3)$をとる．以下，平面$\alpha$上の点$\mathrm{H}$について考える．

(a)　線分$\mathrm{PH}$が平面$\alpha$と直交するように点$\mathrm{H}$の座標を定めなさい．

(b)　線分$\mathrm{PH}$と線分$\mathrm{QH}$の長さの和が最小となるように点$\mathrm{H}$の座標を定めなさい．

【３】　放物線$C\text{：}{y}^2=4x$の焦点を$\mathrm{F}$とし，点$\mathrm{F}$を通り，$x$軸の正の向きとなす角が$\alpha \text{（}0<\alpha <\pi \text{）}$となる直線$l$がある．直線$l$と放物線$C$との$2$つの交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の長さが$\mathrm{AB}\leqq 8$となるとき，角$\alpha$のとりうる値の範囲を求めなさい．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の長さが$\mathrm{AB}\leqq 8$であり，直線$l$が楕円$3x^2+2y^2=2$と共有点をもつとき，角$\alpha$のとりうる値の範囲を求めなさい．