2014　東京理科大学　基礎工学部B方式2月10日実施MathJax

【１】　$A\text{，}B$は共に実数を成分とする$2$次の正方行列で，条件

$AB=\left(\begin{array}{c}4& -1\\ -6& 3\end{array}\right)\text{，}{A}^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\\ -{\displaystyle \frac{2}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)$

を満たすものとする．

(1)　$B^{-1}A=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{ア}}& -\boxed{\text{イ}}\\ \boxed{\text{ウ}}& -\boxed{\text{エ}}\end{array}\right)$である．

(2)　$A^2=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{オ}}& -\boxed{\text{カ}}\\ \boxed{\text{キ}}& \boxed{\text{ク}}\end{array}\right)$である．

(3)　条件を満たす$A$は以下の$4$つである．

$A=\pm \left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{ケ}}& -{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\\ \boxed{\text{シ}}& \boxed{\text{ス}}\end{array}\right)\text{，}\pm \left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{セ}}& \boxed{\text{ソ}}\\ \boxed{\text{タ}}& -\boxed{\text{チ}}\end{array}\right)$

【２】　平面上に同一直線上にない$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が与えられているとし，$▵\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$が

$4\overrightarrow{\mathrm{AP}}+7\overrightarrow{\mathrm{BP}}+2\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$

を満たしているとする．線分$\mathrm{AP}$を延長した直線と線分$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{BP}$を延長した直線と線分$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{R}$とおく．

(1)

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オカ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

である．

(2)　点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AQ}$を$\boxed{\text{キ}}:\boxed{\text{ク}}$に内分する点であり，点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{BC}$を$\boxed{\text{ケ}}:\boxed{\text{コ}}$に内分する点である．

(3)　$▵\mathrm{APB}$の面積を$S\text{，}$四角形$\mathrm{CQPR}$の面積を$T$とおくと，

$S:T=\boxed{\text{サ}}:\boxed{\text{シス}}$

である．

【３】　$a$を正の実数として，

$f(x)={\displaystyle \frac{ax+1}{x^2+2}}$

とおく．$f(x)$は$x={\displaystyle \frac{4}{3}}$で極値をとるとする．

(1)　$a$の値は$\boxed{\text{アイ}}$である．

(2)　$f(x)$の最小値は$-\boxed{\text{ウ}}$であり，そのときの$x$の値は$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

(3)　$k$を実数として，座標平面上で曲線$y=f(x)$と直線$y=k$を考える．その共有点がただ$1$つになるのは，$k=-\boxed{\text{カ}}\text{，}\boxed{\text{キ}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$のときである．

【４】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を

$a_n={\displaystyle {\int }_{n-\frac{1}{4}}^{n+\frac{1}{4}}}{e}^{-4x}\cos (2\pi x)dx\text{，}{b}_n={\displaystyle {\int }_{n-\frac{1}{4}}^{n+\frac{1}{4}}}{e}^{-4x}\sin (2\pi x)dx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．ただし，$e$は自然対数の底を表す．

(1)　$a_n$を定める定積分に対して部分積分を行うことにより，

$a_n=-{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ア}}}}{b}_n$

がわかる．

　一方，$b_n$を定める定積分に対して部分積分を行うことにより，

$b_n={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{イ}}}}{a}_n-{\displaystyle \frac{e^{\boxed{\text{ウ}}}+\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}{e}^{\boxed{\text{カ}}n+\boxed{\text{キ}}}}}$

がわかる．

　これらの関係式より，$a_n$は

$a_n={\displaystyle \frac{\pi (e^{\boxed{\text{ク}}}+\boxed{\text{ケ}})}{\boxed{\text{コ}}({\pi }^{\boxed{\text{サ}}}+\boxed{\text{シ}})e^{\boxed{\text{ス}}n+\boxed{\text{セ}}}}}$

となることがわかる．

(2)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の和は${\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ソ}}({\pi }^{\boxed{\text{タ}}}+\boxed{\text{チ}})(e^{\boxed{\text{ツ}}}-e)}}$となる．

【５】　座標平面上の曲線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-1,1)\text{，}\mathrm{B}(3,9)$をとり，$t$を実数として，点$\mathrm{P}(t,t^2)$をとる．$f(t)=\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$とおく．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$は$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積を表している．さらに，$t\ne -1\text{，}3$のとき，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$のなす角を$\theta$とおく．ただし，$0\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$とする．

(1)　$t=0$のときの$\cos \theta$の値を求めよ．

(2)　$f(t)$は$t$の$4$次式となる．それを降べきの順に整理して書け．

(3)　$f(t)$は

$f(t)=(t+m)(t+n)(t^2+at+b)$（ただし，$m\text{，}n\text{，}a\text{，}b$は整数）

の形に書ける．$f(t)$をこの形に書き表せ．

(4)　$-1<t<3$の範囲内で，$\theta =90\mathrm{°}$となるときの$t$の値を求めよ．

(5)　左側からの極限$\underset{t\to 3-0}{\lim }\cos \theta$の値を求めよ．