2014　東京理科大学　薬学部B方式2月11日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$内のアからタにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．

　白，赤，黄，緑の$4$色の光るライトがある．はじめ，ライトの色は白であり，$1$分経過するごとに，次のルールでライトの色が変わるものとする．ただし，ライトの色が白のときについては$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}$それ以外の色のときについては$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$とする．

(ⅰ)　$n$分後に白のとき，$n+1$分後ではそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で赤，黄，緑になる．

(ⅱ)　$n$分後に赤のとき，$n+1$分後ではそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で白，黄，緑になる．

(ⅲ)　$n$分後に黄のとき，$n+1$分後ではそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で白，赤，緑になる．

(ⅳ)　$n$分後に緑のとき，$n+1$分後ではそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で白，赤，黄になる．

$n$を自然数とし，$n$分後にライトの色が白である確率を$P_n\text{，}$また，$n$分後にライトの色が赤である確率を$Q_n$とする．

(1)

$P_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}{Q}_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．

(2)　$P_n$および$Q_n$についての漸化式を利用すると，自然数$n$に対して，$n$が$3$以上のとき，

$P_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}(\boxed{\text{キ}}-{(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}})}^{n-1})$

$Q_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}(\boxed{\text{シ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}{(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}})}^{n-1})$

である．

【２】　次の$\boxed{}$内のチからナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．

　$f(x)$はすべての係数が整数であるような$3$次多項式で，$x^3$の係数が$1$であり，

${\displaystyle \frac{-\sqrt[3]{2}-2+\sqrt[3]{2}\sqrt{3}i}{2}}$

は方程式$f(x)=0$の解の$1$つであるとする．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき

$f(x)=x^3+\boxed{\text{チ}}{x}^2+\boxed{\text{ツ}}x-\boxed{\text{テ}}$

であり，$f(x)=0$の実数解は${\boxed{\text{ト}}}^{\frac{1}{3}}-\boxed{\text{ナ}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$内のニからラにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．

　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とし，$P(x)=a{x}^2+bx+c$とする．${\{P(x)\}}^5-x$で$(x-1)(x-2)(x-3)$割り切れるとき，

(1)

$a={\displaystyle \frac{1}{2}}(3^{\frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}-2^{\frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}+\boxed{\text{ハ}})$

(2)

$b=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}+2^{\frac{\boxed{\text{ヘ}\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}$

(3)

$c=3^{\frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}-\boxed{\text{ヤ}}\cdot 2^{\frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}+\boxed{\text{ラ}}$

である．

【４】　次の$\boxed{}$内のリからおにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．

　次の曲線と直線について考える．ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数で，$a>0\text{，}b$は$0$でないとする．

$C\text{：}y=a{x}^2+bx+c$

$l_1\text{：}y=x$

$l_2\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{b}}x-d$

$C$は，$x$軸と点$\mathrm{P}$で接し，$l_1$と点$\mathrm{Q}$で接する．$l_2$は点$\mathrm{Q}$を通るものとする．また，$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)

$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{リ}}}{\boxed{\text{ル}}}}\text{，}ac={\displaystyle \frac{\boxed{\text{レ}}}{\boxed{\text{ロ}\text{ワ}}}}$

(2)　$2$直線$l_1\text{，}{l}_2$と曲線$C$で囲まれる図形の面積が$2$であるとき，

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヲ}}}{\boxed{\text{ン}}}}\text{，}d=\boxed{\text{あ}}$

である．

(3)　このときの点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の座標はそれぞれ，

$\mathrm{P}(-\boxed{\text{い}},0)\text{，}\mathrm{Q}(\boxed{\text{う}},\boxed{\text{う}})\text{，}\mathrm{R}(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{え}}}{\boxed{\text{お}}}},-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{え}}}{\boxed{\text{お}}}})$

である．