2014　東京理科大学　理学部B方式2月13日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形に表すものとする．

(1)　$1$から$9$までの数字を$1$つずつ書いた$9$個の玉があり，これらの$9$個の玉が袋に入っているとき，次の問いに答えよ．

(a)　袋から玉を$2$個同時に取り出すとき，取り出された玉に書かれている数の最大値が$7$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(b)　袋から玉を$3$個同時に取り出すとき，取り出された玉に書かれている数の最大値が$7$以下である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}}$である．

(c)　袋から玉を$3$個同時に取り出すとき，取り出された玉に書かれている数の最大値が$5$以上$7$以下である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}}$である．

(d)　$0\leqq k\leqq 9$であるような自然数$k$に対して，袋から玉を$k$個同時に取り出すとき，取り出された玉に書かれている数の最大値が$7$である確率を$p_k$とする．$p_k$が最大となるのは$k=\boxed{\text{コ}}$のときである．

【１】　次の(1)，(2)，(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形に表すものとする．

(2)　数列$\{a_n\}$が$a_1=3\text{，}$

$a_{n+1}=a_n+{\displaystyle \frac{4}{3}}{S}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．ただし$S_n$は$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を表す．

(a)　数列$\{d_n\}$と$\{e_n\}$をそれぞれ$d_n=a_{n+1}-3a_n\text{，}{e}_n=a_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{3}}{a}_n$と定義したとき，

$d_{n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}{d}_n\text{，}{e}_{n+1}=\boxed{\text{ス}}{e}_n$

を満たす．よって

$a_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}({\boxed{\text{タ}}}^n+{\displaystyle \frac{1}{{\boxed{\text{チ}}}^{n-1}}})$

である．

(b)

$S_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}({\boxed{\text{ト}}}^n-{\displaystyle \frac{1}{{\boxed{\text{ナ}}}^n}})$

である．

(c)　$m$を自然数としたとき，$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_m$をある順番に並べてできる数列を$b_1\text{，}{b}_2\text{，}\cdots \text{，}{b}_m$とする．

${\displaystyle \sum _{k=1}^m}{(\sqrt{a_k}+\sqrt{b_k})}^2$

の値を最大とするような並び方にしたとき，その最大値は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}({\boxed{\text{ネ}}}^m-{\displaystyle \frac{1}{{\boxed{\text{ノ}}}^m}})$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形に表すものとする．

(3)　$r>0$とし，$xy$平面上で中心$(r,0)\text{，}$半径$r$の円を考える．$0\leqq x\leqq t\text{（}0<t\leqq 2r\text{）}$の範囲にある円の内部を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V_r(t)$とおく．

(a)　体積$V_r(t)$は

$V_r(t)=\pi t^2(r-{\displaystyle \frac{t}{\boxed{\text{ハ}}}})$

である．

(b)　$a>0$とし，半径$a$の球$B_1$と半径${\displaystyle \frac{a}{3}}$の球があって，$B_2$の中心は$B_1$の表面上にあるとする．このとき，$B_1$と$B_2$の内部の共通部分からなる立体の体積$V$は

$\begin{array}{ll}V& =V_a\left({\displaystyle \frac{a}{\boxed{\text{ヒ}\text{フ}}}}\right)+V_{\frac{a}{3}}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}\text{マ}}}}a)\\ & ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}\text{メ}\text{モ}}}}\pi a^3\end{array}$

である．

【２】　$a$を正の実数とする．実数$x$に対し，

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{a+x}}\text{（}x\ne -a\text{），}g(x)={\displaystyle \frac{1}{a-x}}\text{（}x\ne a\text{）}$

と定める．

(1)　$f(x)=g(x)$を満たす実数$x$の値を求めよ．

(2)　$f(x)\leqq g(x)$を満たす実数$x$の値の範囲（$x\ne a\text{，}-a$）を求めよ．

(3)　すべての正の実数$x$に対して

$f(x+1)<\log (x+4)-\log (x+3)<f(x)$

が成立するような自然数$a$の値を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．

(4)

${\displaystyle \frac{1}{100}}<1-e^{-\frac{1}{n}}$

を満たす最大の自然数$n$を求めよ．ここで$e$は自然対数の底を表す．

【３】　$xy$平面上に点$\mathrm{A}(1,0)$と点$\mathrm{B}(0,1)$をとる．また，傾きが$-1$で点$\mathrm{A}$を通る直線を$l_1\text{，}$傾きが$-1$で点$(2,0)$を通る直線を$l_2$で表す．$l_1$上にない点$\mathrm{P}(a,b)$に対し，直線$\mathrm{AP}$と$l_2$との交点を$\mathrm{C}\text{，}$直線$\mathrm{BP}$と$l_2$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の座標を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$a+b=t$とおくとき，線分$\mathrm{CD}$の長さを$t$を用いて表せ．ただし，$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$が一致するときは線分$\mathrm{CD}$の長さは$0$とする．

(3)　点$\mathrm{P}(a,b)$が点$(2,2)$を中心とする半径${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$の円周上を動くとき，線分$\mathrm{CD}$の長さのとり得る値の範囲を求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}(a,b)$が双曲線$xy=1$上を動くとき，線分$\mathrm{CD}$の長さのとり得る値の範囲を求めよ．