2014　東京理科大学　理学部数学科2月12日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$内のアからチにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートの解答欄にマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2$桁の数，$\boxed{}$は$3$桁の数を表す．

(1)　一辺の長さが$6$の正三角形$\mathrm{ABC}$とその重心を通る直線$l$を考える．

(a)　$l$が頂点$\mathrm{A}$を通るとき，正三角形$\mathrm{ABC}$を$l$の周りに$1$回転してできる回転体の体積は，$\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}\pi$である．

(b)　$l$が辺$\mathrm{AB}$と平行のとき，正三角形$\mathrm{ABC}$を$l$の周りに$1$回転してできる回転体の体積は，$\boxed{\text{ウ}\text{エ}}\pi$である．

【１】　次の$\boxed{}$内のアからチにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートの解答欄にマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2$桁の数，$\boxed{}$は$3$桁の数を表す．

(2)　関数$f(x)={({\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4-2x^3+{\displaystyle \frac{11}{2}}{x}^2-6x+3)}^2$の$0\leqq x\leqq 4$での最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}}$であり，最大値は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$内のアからチにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートの解答欄にマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2$桁の数，$\boxed{}$は$3$桁の数を表す．

(3)　赤い玉$3$個，白い玉$3$個，青い玉$2$個がある．

(a)　$8$つの玉全部を$1$列に並べる並べ方は，$\boxed{\text{ケ}\text{コ}\text{サ}}$通りである．

(b)　$8$つの玉全部を$1$列に並べるとき，青い玉が続く並べ方は，$\boxed{\text{シ}\text{ス}\text{セ}}$通りである．

(c)　$8$つの玉全部を$1$列に並べるとき，赤い玉が$2$個以上続く並べ方は，$\boxed{\text{ソ}\text{タ}\text{チ}}$通りである．

【２】　座標平面において，$y=x^2$のグラフを$C_1$とする．原点$\mathrm{O}$と$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,t^2)\text{（}t>0\text{）}$を通る円$C_2$があり，その中心を$\mathrm{A}$とする．$C_1$の$\mathrm{P}$での接線と$C_2$の$\mathrm{P}$での接線は直交している．このとき次の問いに答えよ．

(1)　円$C_2$の中心$\mathrm{A}$の座標を$t$で表せ．

(2)　円$C_2$の半径$r$を$t$で表せ．

(3)　直線$\mathrm{AB}$および直線$\mathrm{PQ}$が$x$軸と直交するように$x$軸上の$2$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{Q}$をとる．台形$\mathrm{ABQP}$の面積を$S_1\text{，}▵\mathrm{OAB}$の面積を$S_2$とするとき，$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$を求めよ．

(4)　$\angle \mathrm{OAP}=\theta$とするとき，$\underset{t\to \infty }{\lim }\sin \theta$を求めよ．

(5)　円$C_2$は，曲線$C_1$により，$2$つの部分に分かれている．そのうちで，中心$\mathrm{A}$を含まない部分の面積を$S_3$とする．また，円$C_2$の面積を$S_4$とするとき，$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_3}{S_4}}$を求めよ．