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2014-13442-1101
2014 東京理科大学 理学部数学科B方式
2月12日実施
(1)〜(3)合わせて配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 次の 内のアからチにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数を解答用マークシートの解答欄にマークせよ.ただし, は 2 桁の数, は 3 桁の数を表す.
(1) 一辺の長さが 6 の正三角形 ABC とその重心を通る直線 l を考える.
(a) l が頂点 A を通るとき,正三角形 ABC を l の周りに 1 回転してできる回転体の体積は, ア ⁢ イ ⁢π である.
(b) l が辺 AB と平行のとき,正三角形 ABC を l の周りに 1 回転してできる回転体の体積は, ウ エ ⁢ π である.
2014-13442-1102
(2) 関数 f ⁡(x )= ( 14⁢ x 4-2⁢ x3+ 11 2⁢ x 2-6 ⁢x+3 )2 の 0 ≦x≦4 での最小値は オ カ キ であり,最大値は ク である.
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(3) 赤い玉 3 個,白い玉 3 個,青い玉 2 個がある.
(a) 8 つの玉全部を 1 列に並べる並べ方は, ケ コ サ 通りである.
(b) 8 つの玉全部を 1 列に並べるとき,青い玉が続く並べ方は, シ ス セ 通りである.
(c) 8 つの玉全部を 1 列に並べるとき,赤い玉が 2 個以上続く並べ方は, ソ タ チ 通りである.
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配点50点
【2】 座標平面において, y=x 2 のグラフを C 1 とする.原点 O と C 1 上の点 P ( t,t2 ) ( t>0 ) を通る円 C 2 があり,その中心を A とする. C1 の P での接線と C 2 の P での接線は直交している.このとき次の問いに答えよ.
(1) 円 C 2 の中心 A の座標を t で表せ.
(2) 円 C 2 の半径 r を t で表せ.
(3) 直線 AB および直線 PQ が x 軸と直交するように x 軸上の 2 点 B ,Q をとる.台形 ABQP の面積を S1 ,▵ OAB の面積を S 2 とするとき, limt →∞ S1S 2 を求めよ.
(4) ∠OAP= θ とするとき, limt →∞ sin⁡θ を求めよ.
(5) 円 C 2 は,曲線 C 1 により, 2 つの部分に分かれている.そのうちで,中心 A を含まない部分の面積を S 3 とする.また,円 C 2 の面積を S 4 とするとき, limt →∞ S3S 4 を求めよ.