2014　東京理科大学　理学部B方式2月12日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$内のアからフにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートの解答欄にマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2$桁の数を表す．

(1)　$1$から$8$までの番号が$1$つずつ書かれた$8$枚のカードがある．

(a)　この$8$枚のカードから$2$枚を同時に抜き出したときの番号の和の期待値は$\boxed{\text{ア}}$である．

(b)　この$8$枚のカードから$2$枚を同時に抜き出すとき，$2$つの番号の和が$8$以上である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}}$である．

(c)　この$8$枚のカードから$2$枚を同時に抜き出すとき，$2$つの番号の積が$4$の倍数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$内のアからフにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートの解答欄にマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2$桁の数を表す．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}\alpha \text{，}\beta$は実数とし，次の$2$つの等式が$x$についての恒等式となるとする．

$(x+\alpha )(x^2+ax+b)=x^3+c{x}^2+39x+56$

$(x+\beta )(x^2+ax+b)=x^3+d{x}^2+31x+42$

このとき，

(a)　$b+\alpha a=\boxed{\text{ク}\text{ケ}}\text{，}b+\beta b=\boxed{\text{コ}\text{サ}}\text{，}{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$である．

(b)　$a=\boxed{\text{セ}}\text{，}b=\boxed{\text{ソ}}\text{，}c=\boxed{\text{タ}\text{チ}}\text{，}d=\boxed{\text{ツ}\text{テ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$内のアからフにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートの解答欄にマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2$桁の数を表す．

(3)　$f(x)=|\cos x|-\cos x$とする．

(a)　$f(x)=1$を満たす$x\text{（}x>0\text{）}$の値を小さい順に$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$とする．このとき，

$a_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\pi \text{，}{a}_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\pi \text{，}{a}_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\pi$

である．

(b)　定積分${\displaystyle {\int }_{a_1}^{a_3}}f(x)\sin (x+a_2)dx$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}\sqrt{\boxed{\text{フ}}}$である．

【２】　座標平面において，曲線$C\text{：}y=2x-x{e}^{-x}$と直線$l\text{：}y=2x$がある．ただし，$e$は自然対数の底とする．$a$は$a>1$を満たす実数とし，直線$x=a$と曲線$C$の交点を$\mathrm{A}\text{，}$直線$x=a$と直線$l$の交点を$\mathrm{B}$とする．また，曲線$C$上の点$\mathrm{<mspace\; width=".2em"></mspace>A}$における接線と直線$l$の交点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$上の点$\mathrm{A}$における接線の方程式を求めよ．

(2)　$p$を$a$を用いて表せ．

(3)　曲線$C$と直線$l$および$2$直線$x=a\text{，}x=p$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$T(a)$とする．

(a)　$T(a)$を$a$を用いて表せ．

(b)　$S(a)$を$a$を用いて表せ．

(c)　極限値$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S(a)}{T(a)}}$を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は

・　$\tan a_n={\displaystyle \frac{1}{n^2+n+1}}\text{，}0<a_n<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

・　$\tan b_n=\alpha n+\beta$（$\alpha \text{，}\beta$は定数），$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<b_n<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

・　$\tan a_n=\tan (b_{n+1}-b_n)$

を満たすとする（$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$と$\beta$を求めよ．

(2)　$b_1$を求めよ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．ただし，必要ならば，

${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x<\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

が成り立つことを用いてもよい．

(4)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の和を求めよ．

(5)　自然数$n$に対し，$\tan (b_{n+1}-b_{n-1})$を$n$の式で表せ．ただし，$b_0=0$とする．

(6)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}(b_{n+1}-b_{n-1})$の和を求めよ．ただし，$b_0=0$とする．