2014　東京理科大学　理学部数理情報学科2月13日実施MathJax

【１】

(1)　実数を成分とする$2$次の正方行列

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}X=\left(\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right)$

が$X^2=A$を満たしているとする．

(a)　$(e+h)X-A$を$e\text{，}f\text{，}g\text{，}h$を用いて表せ．

(b)　$b\ne 0$または$c\ne 0$ならば，$e+h\ne 0$となることを示せ．

(c)　$b\ne 0$または$c\ne 0$のとき，$X=\alpha A+\beta E$が成り立つような実数$\alpha \text{，}\beta$を$e\text{，}f\text{，}g\text{，}h$を用いて表せ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．

(2)　$2$次の正方行列$A$を

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{t}^2+3& 2(t-1)\\ 2(t+1)& t^2-1\end{array}\right)$

とする．ただし，$t$は実数とする．

(a)　$ad-bc$を$t$の式で表せ．

(b)　$X^2=A$を満たす実数を成分とする$2$次の正方行列$X$が，ちょうど$2$つ存在するような$t$の値を求めよ．

【２】　関数

$h(t)=\{\begin{array}{ll}t& \text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}\\ 0& \text{（}t<0\text{，}\pi <t\text{）}\end{array}$

に対して，

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}h(x-t)\sin tdt& \text{（}x\leqq \pi \text{，}2\pi \leqq x\text{）}\\ {\displaystyle {\int }_{x-\pi }^{\pi }}h(x-t)\sin tdt& \text{（}\pi <x<2\pi \text{）}\end{array}$

とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x$を実数とするとき，以下の不定積分を計算せよ．

${\displaystyle \int }(x-t)\sin tdt$

(2)　以下のそれぞれの場合に対して，$f(x)$を求めよ．

• (ⅰ)　$x<0$
• (ⅱ)　$0\leqq x\leqq \pi$
• (ⅲ)　$\pi <x<2\pi$
• (ⅳ)　$2\pi \leqq x$

(3)　$f(x)$は微分可能で，その導関数$f^{\prime }(x)$は連続な関数となる．

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{f}^{\prime }(x)dx$

を計算せよ．

(4)　$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$は$\tan \theta =\pi$を満たす実数とする．$f^{\prime }(x)=0$を満たす$x\text{（}\pi <x<2\pi \text{）}$を$\theta$を用いて表せ．

(5)　以下の値を(4)の$\theta$を用いて表せ．

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}|f^{\prime }(x)|dx$