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2014-13460-0101
2014 東邦大学 理学部A日程
2月1日実施
【1】で配点40点
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する解答を,解答用紙の決められた場所に記入せよ.
(ⅰ) 27x- 1= 19x をみたす x の値は ア である.
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(ⅱ) x>-1 の範囲で x2+ 1x+ 1 は最小値 イ をとり,そのときの x の値は ウ である.
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(ⅲ) 0<x <1 として, 3 点 O ( 0,0 ), P ( x,0) ,Q ( x,2- 2⁢x2 ) を頂点とする ▵OPQ の面積を y とすると, dyd x= エ であり, y の最大値は オ である.
2014-13460-0104
(ⅳ) A ,B , C の 3 つの袋があり,いずれの袋にも 1 から 3 の数字がそれぞれ 1 つずつ書かれた 3 枚のカードが入っている. A の袋から無作為に 2 枚のカードを取り出し,それらのカードに書かれてある数の和を a とする. B と C の袋からそれぞれ無作為に 1 枚,合計 2 枚のカードを取り出し,それらのカードに書かれてある数の和を b とする.このとき, a<b となる確率は カ である.
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配点30点
(ⅴ) 右の図で, AC=BC= AD=b ,AB= BD=c ,∠DAB =θ ,∠CAB =2⁢θ であるとする.ただし, θ<90 ⁢° である. ▵ABC と ▵ABD の 2 つの三角形の頂点 A に着目して余弦定理を用いることにより, cos⁡2 ⁢θ および cos ⁡θ を b と c の式で表し,更に倍角の公式を用いると, x=cos ⁡θ は 3 次方程式 キ の解であることがわかる.
この 3 次方程式は x =- 12 という解を持つので,左辺の 3 次式は 1 次式と 2 次式の積に因数分解できる.これより cos ⁡θ= ク を得る.
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【2】 曲線 C :y= x2 上の相異なる 2 点 P ( p,p2 ) と Q (q ,q2 ) を通る直線を l とし,直線 l と平行な直線が曲線 C と点 R ( r,r2 ) で接するとする.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 直線 l の方程式を求めよ.
(ⅱ) 内積 RP→ ⋅RQ→ を p , q ,r の式で表せ.
(ⅲ) r を p と q の式で表せ.
(ⅳ) 点 P に対して RP→ ⋅RQ→ =0 となるような点 Q がただ 1 つ決まるとき, p の値を求めよ.
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【3】 複素数 α = 3+3 ⁢i2 および β = 3-3 ⁢i2 に対して,
xn= αn+ βn ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ )
とする.ここで, i は虚数単位である.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) α および β を解とする 2 次方程式を求めよ.
(ⅱ) x1 , x2 ,x 3 を求めよ.
(ⅲ) n を任意の自然数として, xn+ 2 ,x n+1 , xn の 3 つの項の間に成立する関係式を求めよ.
(ⅳ) 任意の自然数 n に対して, x6 ⁢n-3 =0 であることを証明せよ.