2014　東邦大学　薬学部MathJax

【１】　赤，青，黒それぞれ$3$枚ずつ，合計$9$枚のカードがある．この中から$1$枚を引いて図の$1$の位置に置き，さらに$1$枚を引いて図の$2$の位置に置く．以下同様にして，$9$枚のカードを図の位置に置く．$1\text{，}2\text{，}3$の位置を$1$行目，$4\text{，}5\text{，}6$の位置を$2$行目，$7\text{，}8\text{，}9$の位置を$3$行目と呼ぶとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$1$行目に赤のカードが$2$枚，黒のカードが$1$枚並ぶ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}}$である．

(2)　$1$つの行に赤のカードが$3$枚並ぶ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}}$である．

(3)　$1$つの行だけに同じ色のカードが$3$枚並ぶ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}\text{コ}\text{サ}}}}$である．

【２】　空間内に原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(2,1,\sqrt{3})$がある．今，点$\mathrm{P}(x,y,z)$をとり，角$A$が直角の直角二等辺三角形$▵\mathrm{OAP}$を作る．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$は球$x^2+y^2+z^2=\boxed{\text{シ}\text{ス}}$の上にある．また

$2x+y+\sqrt{3}z=\boxed{\text{セ}}$

が成り立つ．

(2)　$\mathrm{P}$が$xy$平面にあるとき，$\mathrm{P}$の座標は

$(\boxed{\text{ソ}},\boxed{\text{タ}},0)$または$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}},0)$

である．

(3)　(2)で求めた点$(\boxed{\text{ソ}},\boxed{\text{タ}},0)$を$\mathrm{H}$とおき，$▵\mathrm{OAH}$を直線$\mathrm{OA}$のまわりに$1$回転してできる立体を$K$とおく．このとき，$K$の$xy$平面による断面の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．

【３】　関数$y={\log }_2(2^x-2^{1-x})+{\log }_2(2^{4-x}-2^x)+2x$について考える．

(1)　$x$の範囲は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}<x<\boxed{\text{フ}}$である．

(2)　$4^x=t$とおくとき，$y={\log }_{2}f(t)$と表される．ただし，$f(t)$は$t$の$2$次式で，$1$次の項の係数は$\boxed{\text{ヘ}\text{ホ}}$である．

(3)　$x={\log }_2\boxed{\text{マ}}$のとき，$y$は最大値$\boxed{\text{ミ}}{\log }_2\boxed{\text{ム}}$をとる．

【４】　$a\text{，}b$を定数とするとき，$2$曲線

$C_1\text{：}y=-x^2+2x$

$C_2\text{：}y=3x^2+ax+b$

はともに点$\mathrm{A}(2,0)$を通り，点$\mathrm{A}$における微分係数が一致するという．また，点$\mathrm{A}$を通る直線$l$は，$\mathrm{A}$以外の点$\mathrm{P}$で$C_1$と交わり，$\mathrm{A}$以外の点$\mathrm{Q}$で$C_2$と交わっている．線分$\mathrm{AP}$と曲線$C_1$で囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}$線分$\mathrm{AQ}$と曲線$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　直線$l$の傾きを$k$とするとき，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標を$k$の式で表せ．

(3)　$S_1$と$S_2$の比を求めよ．

【５】　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で，角$\theta$の動径上に

$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1=4$

を満たす点${\mathrm{A}}_1$をとる．次に，

$\angle \mathrm{O}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2=\theta \text{，}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2=2$

を満たす点${\mathrm{A}}_2$を図のようにとる．さらに

$\angle {\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3=\theta \text{，}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3=1$

を満たす点${\mathrm{A}}_3$を図のようにとる．

　$t=\cos \theta$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\cos 3\theta =4t^3-3t$と表されることを証明せよ．

(2)　点${\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3$の$x$座標を$t$の式で表せ．

(3)　点${\mathrm{A}}_3$の$x$座標が最小となるときの$\theta$の値を求めよ．