2014　東邦大学　理学部B英数択一MathJax

$A\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\text{，}A\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$

このとき，$A^2\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\boxed{\text{オ}}$である．

(ⅳ)　$xy$平面上で円：${(x-2\sqrt{2})}^2+y^2=2$に外接し，直線：$x=-\sqrt{2}$と接する円の中心の軌跡は，方程式$\boxed{\text{カ}}$で表される放物線であり，その焦点の座標は$\boxed{\text{キ}}$である．

(ⅰ)　$f^{\prime }(1)$を求めよ．

(ⅱ)　$f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)=-x^{2}f(x)$が成り立つことを示せ．

(ⅲ)　正の実数$s$に対して$I_s={\displaystyle {\int }_{\frac{1}{s}}^s}f(x)dx$とおく．$x={\displaystyle \frac{1}{t}}$とおいて置換積分することにより，$I_s$を求めよ．

(ⅳ)　正の実数$s$に対して関数$g(s)$を$g(s)={\displaystyle {\int }_{\frac{1}{s}}^s}x{f}^{\prime }(x)dx$によって定めるとき，$g^{\prime }(1)$を求めよ．

(ⅰ)　円$A$を角度$t$だけ回転させたとき，円$A$の中心の移動距離を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)の状態のとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(ⅲ)　点$\mathrm{P}$が描く曲線に関して，$t={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のときの点$\mathrm{P}$における接線の傾きを求めよ．

(ⅳ)　点$\mathrm{P}$がはじめて$x$軸に到達するまでに点$\mathrm{P}$が描く曲線を$C$とする．曲線$C$と$x$軸および$y$軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．