2014　早稲田大学　国際教養学部MathJax

【１】　$0\leqq x\leqq 8$とする．

(1)　不等式

$\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{12}}x)+\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{12}}x)\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$

を満たす$x$の範囲は

$0\leqq x\leqq \boxed{\text{ア}}$および$\boxed{\text{イ}}\leqq x\leqq 8\cdots$(＊)

である．

(2)　$x$が(＊)の範囲を動くとき，関数

$f(x)=|x(x-5)(x-8)|$

は$x=\boxed{\text{ウ}}$のとき最大値$\boxed{\text{エ}}$をとる．

【２】　以下の不等式(ⅰ)〜(ⅴ)をすべて満たす点$(x,y)$からなる領域を$S$とする．

(ⅰ)　$-x+2y\leqq 20$

(ⅱ)　$2x+3y\leqq 44$

(ⅲ)　$4x-y\leqq 32$

(ⅳ)　$x\geqq 0$

(ⅴ)　$y\geqq 0$

次の問いに答えよ．

(1)　領域$S$において$x+3y$を最大にする点$\mathrm{A}(x,y)$の$x$座標は$\boxed{\text{オ}}\text{，}y$座標は$\boxed{\text{カ}}$である．このとき$x+3y$の最大値$M$は$\boxed{\text{キ}}$である．

(2)　$a$を実数，$b$を正の実数とする．領域$S$において$ax+by$を最大にする点が，(1)で求めた点$\mathrm{A}(x,y)$のみの場合，${\displaystyle \frac{a}{b}}$がとりうる値の範囲は

$\boxed{\text{ク}}<{\displaystyle \frac{a}{b}}<\boxed{\text{ケ}}$

である．

(3)　$a$を正の実数，$b$を正の実数とする．領域$S$において$ax+by$を最大にする点が複数あるとき，${\displaystyle \frac{a}{b}}$がとりうる値は$\boxed{\text{コ}}$である．

(4)　$c$を実数とし，上記の不等式(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅳ)，(ⅴ)と不等式

(ⅲ＊)　$4x-y\leqq c$

をすべて満たす点$(x,y)$からなる領域を$S^{*}$とする．領域$S^{*}$において$x+3y$の最大値が(1)で求めた$M$であるとすると，$c$がとりうる最小値は$\boxed{\text{サ}}$である．

【３】(1)　$1$つのサイコロを$3$回投げたとき，$1$の目が奇数回出る確率は$\boxed{\text{シ}}$である．

(2)　袋の中に赤玉$8$個，白玉$6$個の合計$14$個の玉が入っている．この袋から一度に$6$個の玉を取り出したとき，赤玉が$2$個，白玉が$4$個取り出される確率は$\boxed{\text{ス}}$である．

(3)　袋の中に赤玉$n-7$個，白玉$7$個の合計$n$個の玉が入っている．ただし$n\geqq 10$とする．この袋から一度に$5$個の玉を取り出したとき，赤玉が$3$個，白玉が$2$個取り出される確率を$P_n$とする．$P_n$が最大となる$n$の値は$\boxed{\text{セ}}$である．