2014　早稲田大学　スポーツ科学部

【１】　${\displaystyle \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$の小数部分を$a$とするとき，$a$は$2$次方程式$x^2+\boxed{\text{ア}}x+\boxed{\text{イ}}=0$の解であり，$a^3+6a^2-21a+23$の値は$\boxed{\text{ウ}}+\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$である．

【２】　$1$辺の長さが$1$である正六角形の$6$つの頂点から$3$つの点を選び三角形を作る．

(1)　この三角形が正三角形になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．

(2)　このようにして作られるすべての三角形の面積の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．

【３】　連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\leqq -{({\log }_{\frac{1}{2}}x)}^2+{\displaystyle \frac{4}{{\log }_{x}3}}\cdots \text{(＊)}\\ y\geqq {\log }_{3}x\end{array}$

の表す領域を$D$とする．

(1)　${\log }_{3}x=t$とおくとき，不等式$\text{(＊)}$を$t$と$x$で表すと，$y\leqq \boxed{\text{サ}}{t}^2+\boxed{\text{シ}}t$となる．

(2)　領域$D$において，$y$のとりうる値の範囲を表す不等式は，次の$\text{①}$から$\text{④}$の中の$\boxed{\text{ス}}$の形であり，$a=\boxed{\text{セ}}\text{，}b=\boxed{\text{ソ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ス}}$は$1$から$4$の数をマークして答えること．

$\text{①}$　$a\leqq y\leqq b$

$\text{②}$　$a\leqq y<b$

$\text{③}$　$a<y\leqq b$

$\text{④}$　$a<y<b$

(3)　$x\text{，}y$がともに整数である点$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$x-y$の最大値は$\boxed{\text{タ}}$である．

【４】　原点を$\mathrm{O}$とする空間に点$\mathrm{A}(1,1,1)\text{，}$点$\mathrm{B}(1,2,3)\text{，}$点$\mathrm{P}(4,0,-1)$がある．線分$\mathrm{AB}$を直径とする円のうち，直線$\mathrm{OA}$と$2$点で交わるものを円$S$とし，点$\mathrm{A}$以外の交点を$\mathrm{C}$とする．

(1)　点$\mathrm{C}$の座標は$(\boxed{\text{チ}},\boxed{\text{ツ}},\boxed{\text{テ}})$である．

(2)　円$S$を含む平面と，点$\mathrm{P}$からこの平面におろした垂線との交点の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}},\boxed{\text{ニ}},-{\displaystyle \frac{3}{2}})$である．

【５】　$2$次関数$y=x^2-1$のグラフ上の点$(1,0)$における接線を$l$とする．直線$l$と点$(1,0)$で接する円$C$の方程式は，実数$t$を用いて

${(x+\boxed{\text{ヌ}}t+\boxed{\text{ネ}})}^2+{(y-t)}^2=\boxed{\text{ノ}}{t}^2$

と表される．円$C$と放物線$y=x^2-1$の共有点の個数が$2$個となる$t$は小さい順に${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$と${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$である．