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2014-13591-0301
2014 早稲田大学 基幹理工学部, 創造理工学部,先進理工学部
2月16日実施
易□ 並□ 難□
【1】 複素数 α = -1+ 3⁢i 2 に対して,
Sn = ∑ k=1 n αk- 1 ,T n= ∑k =1n k⁢α k-1 ( n=1 ,2 , ⋯ )
とおく.ただし, α0 =1 とする.次の問に答えよ.
(1) S3⁢ m ( m=1 ,2 , ⋯ ) を求めよ.
(2) T3⁢ m ( m=1 ,2 , ⋯ ) を求めよ.
(3) T2014 を求めよ.
2014-13591-0302
【2】 3 次関数 f ⁡(x )= x3-a ⁢x-b について,次の問に答えよ.
(1) a>0 であるとき, f⁡( x) の極大値と極小値を求めよ.
(2) 次の(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を示せ.
(ⅰ) 27⁢b 2-4 ⁢a3 >0 のとき, 3 次方程式 f ⁡(x )=0 はただ 1 つの実数解をもつ.
(ⅱ) 27⁢b 2-4⁢ a3= 0 かつ a >0 のとき, 3 次方程式 f ⁡(x )=0 は異なる 2 つの実数解をもつ.
(ⅲ) 27⁢b 2-4⁢ a3< 0 のとき, 3 次方程式 f ⁡(x )=0 は異なる 3 つの実数解をもつ.
2014-13591-0303
【3】 立方体の面を 3 色を用いて 2 つずつ同じ色に塗る.次の問に答えよ.
(1) 向かい合う 2 面が,どの組についても同じ色で塗られる確率を求めよ.
(2) 向かい合う 2 面が,どの組についても同じ色にならない確率を求めよ.
(3) 向かい合う 2 面の組のうち, 2 面の色が同じになる組の個数の期待値を求めよ.
2014-13591-0304
【4】 関数 f ⁡(x ) を次の積分で定義する.
f⁡( x)= ∫ xx+log ⁡2 |e 2⁢t -et -2 | ⁢dt
次の問に答えよ.
(1) g⁡( t)= e2⁢ t-e t-2 のグラフを描け.
(2) f⁡( x) を求めよ.
(3) f⁡( x) が極値をとる x を求めよ.
2014-13591-0305
【5】 O を原点とする座標平面上に
放物線 C1: y=x2 , 円 C2: x2+ (y -a) 2=1 ( a≧0 )
がある. C2 の点 ( 0,a+ 1) における接線と C 1 が 2 点 A ,B で交わり, ▵OAB が C 2 に外接しているとする.次の問に答えよ.
(1) a を求めよ.
(2) 点 ( s,t ) を ( -1,a ), (1 ,a) ,( 0,a- 1) と異なる C 2 上の点とする.そして点 ( s,t ) における C 2 の接線と C 1 との 2 つの交点を P ( α,α 2) ,Q ( β,β 2) とする.このとき, ( α-β )2 -α2 ⁢β 2 は s , t によらない定数であることを示せ.
(3) (2)において,点 P ( α,α 2) から C 2 への 2 つの接線が再び C 1 と交わる点を Q ( β,β 2) ,R ( γ,γ 2) とする. β+γ および β ⁢γ を α を用いて表せ.
(4) (3)の 2 点 Q ,R に対し,直線 QR は C 2 と接することを示せ.