2014 早稲田大学 理工系学部MathJax

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2014 早稲田大学 基幹理工学部,

創造理工学部,先進理工学部

2月16日実施

易□ 並□ 難□

【1】 複素数 α = -1+ 3i 2 に対して,

Sn = k=1 n αk- 1 T n= k =1n kα k-1 n=1 2

とおく.ただし, α0 =1 とする.次の問に答えよ.

(1)  S3 m m=1 2 を求めよ.

(2)  T3 m m=1 2 を求めよ.

(3)  T2014 を求めよ.

2014 早稲田大学 基幹理工学部,

創造理工学部,先進理工学部

2月16日実施

易□ 並□ 難□

【2】  3 次関数 f (x )= x3-a x-b について,次の問に答えよ.

(1)  a>0 であるとき, f( x) の極大値と極小値を求めよ.

(2) 次の(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を示せ.

(ⅰ)  27b 2-4 a3 >0 のとき, 3 次方程式 f (x )=0 はただ 1 つの実数解をもつ.

(ⅱ)  27b 2-4 a3= 0 かつ a >0 のとき, 3 次方程式 f (x )=0 は異なる 2 つの実数解をもつ.

(ⅲ)  27b 2-4 a3< 0 のとき, 3 次方程式 f (x )=0 は異なる 3 つの実数解をもつ.

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創造理工学部,先進理工学部

2月16日実施

易□ 並□ 難□

【3】 立方体の面を 3 色を用いて 2 つずつ同じ色に塗る.次の問に答えよ.

(1) 向かい合う 2 面が,どの組についても同じ色で塗られる確率を求めよ.

(2) 向かい合う 2 面が,どの組についても同じ色にならない確率を求めよ.

(3) 向かい合う 2 面の組のうち, 2 面の色が同じになる組の個数の期待値を求めよ.

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2月16日実施

易□ 並□ 難□

【4】 関数 f (x ) を次の積分で定義する.

f( x)= xx+log 2 |e 2t -et -2 | dt

次の問に答えよ.

(1)  g( t)= e2 t-e t-2 のグラフを描け.

(2)  f( x) を求めよ.

(3)  f( x) が極値をとる x を求めよ.

2014 早稲田大学 基幹理工学部,

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2月16日実施

易□ 並□ 難□

【5】  O を原点とする座標平面上に

放物線 C1 y=x2 C2 x2+ (y -a) 2=1 a0

がある. C2 の点 ( 0,a+ 1) における接線と C 1 2 A B で交わり, OAB C 2 に外接しているとする.次の問に答えよ.

(1)  a を求めよ.

(2) 点 ( s,t ) ( -1,a ) (1 ,a) ( 0,a- 1) と異なる C 2 上の点とする.そして点 ( s,t ) における C 2 の接線と C 1 との 2 つの交点を P ( α,α 2) Q ( β,β 2) とする.このとき, ( α-β )2 -α2 β 2 s t によらない定数であることを示せ.

(3) (2)において,点 P ( α,α 2) から C 2 への 2 つの接線が再び C 1 と交わる点を Q ( β,β 2) R ( γ,γ 2) とする. β+γ および β γ α を用いて表せ.

(4) (3)の 2 Q R に対し,直線 QR C 2 と接することを示せ.

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