2014　早稲田大学　教育学部MathJax

【１】　次の空欄$\boxed{\text{①}}$から$\boxed{\text{⑥}}$にあてはまる数または数式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　$3$次曲線$y=x^3-6x^2+11x-4$と直線$y=ax$が第$1$象限の相異なる$3$点で交わるような定数$a$の範囲は$\boxed{\text{①}}<a<\boxed{\text{②}}$である．

【１】　次の空欄$\boxed{\text{①}}$から$\boxed{\text{⑥}}$にあてはまる数または数式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　硬貨を投げ，$3$回つづけて表が出たら終了する．$n$回以下で終了する場合の数を$f_n$とする．$f_{10}=\boxed{\text{③}}$である．

【１】　次の空欄$\boxed{\text{①}}$から$\boxed{\text{⑥}}$にあてはまる数または数式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　不等式${\displaystyle \frac{a}{19}}<{\log }_{10}7<{\displaystyle \frac{b}{13}}$を満たす最大の整数$a$と最小の整数$b$は$a=\boxed{\text{④}}\text{，}b=\boxed{\text{⑤}}$である．必要に応じて次の事実を用いてよい．

• $7^1=7$
• $7^2=49$
• $7^3=343$
• $7^4=2401$
• $7^5=16807$
• $7^6=117649$
• $7^7=823543$
• $7^8=5764801$
• $7^9=40353607$
• $7^{10}=282475249$
• $7^{11}=1977326743$
• $7^{12}=13841287201$
• $7^{13}=\mathrm{96889010407}$
• $7^{14}=678223072849$

【１】　次の空欄$\boxed{\text{①}}$から$\boxed{\text{⑥}}$にあてはまる数または数式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　四面体$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの面のどれも$3$辺の長さが$7\text{，}8\text{，}9$の三角形である．この四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\boxed{\text{⑥}}$である．

【２】　$\sin \theta ={\displaystyle \frac{4}{5}}$をみたす$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$に対し，$a_n=5^n\sin n\theta$とおく（$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$）．次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$は，ある整数$A\text{，}B$を用いて

$a_{n+2}=A{a}_{n+1}+B{a}_n$

と表される．このとき，$A\text{，}B$の値を求めよ．

(2)　$a_n$は$5$で割ると$4$余る整数であることを証明せよ．

(3)　$\theta$は円周率$\pi$の有利数倍ではないことを証明せよ．

【３】　$a$は$1$より大きい実数とする．

(1)　次の不等式が成り立つことを証明せよ．

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}(a^{\frac{k+1}{n}}-a^{\frac{k}{n}}){\displaystyle \frac{1}{a^{\frac{k+1}{n}}}}<{\displaystyle {\int }_1^a}{\displaystyle \frac{dx}{x}}<{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}(a^{\frac{k+1}{n}}-a^{\frac{k}{n}}){\displaystyle \frac{1}{a^{\frac{k}{n}}}}$

(2)　次の等式が成り立つことを証明せよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}(a^{\frac{k+1}{n}}-a^{\frac{k}{n}}){\displaystyle \frac{1}{a^{\frac{k+1}{n}}}}={\displaystyle {\int }_1^a}{\displaystyle \frac{dx}{x}}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}(a^{\frac{k+1}{n}}-a^{\frac{k}{n}}){\displaystyle \frac{1}{a^{\frac{k}{n}}}}$

【４】　$2$個以上の正の整数を要素とする有限集合を$\mathrm{A}$とする．

　$\mathrm{A}$のどの$2$数も一方が他方を割り切るとき$\mathrm{A}$は良い集合であるといい，$\mathrm{A}$のどの$2$数も互いに他を割り切らないとき$\mathrm{A}$は悪い集合であるという．

　また，$\mathrm{A}$の良い部分集合の要素の個数の最大値，すなわち，

$\max \{n(\mathrm{B})|\mathrm{B}\subset \mathrm{A}\text{，}n(\mathrm{B})\geqq 2\text{かつ}\mathrm{B}\text{は良い集合}\}$

を$\mathrm{A}$の最良数と定義し，$\mathrm{A}$の悪い部分集合の要素の個数の最大値，すなわち，

$\max \{n(\mathrm{B})|\mathrm{B}\subset \mathrm{A}\text{，}n(\mathrm{B})\geqq 2\text{かつ}\mathrm{B}\text{は悪い集合}\}$

を$\mathrm{A}$の最悪数と定義する．

　たとえば，$\mathrm{A}=\{2,3,5,7,11,14,15,77,154,225,231,308\}$のとき，$\mathrm{A}$の良い部分集合は$\{7,77,231\}\text{，}\{7,14,154,308\}\text{，}\{11,77,154,308\}$などであり，$\mathrm{A}$の最良数は$4$である．また，$\mathrm{A}$の悪い部分集合は$\{231,308\}\text{，}\{14,15,77\}\text{，}\{2,7,11,15\}\text{，}\{2,3,5,7,11\}$などであり，$\mathrm{A}$の最悪数は$5$である．

　$k$を$2$以上の整数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n(\mathrm{A})=k^2$で，かつ最良数も最悪数も$k$である集合$\mathrm{A}$が存在することを証明せよ．

(2)　$n(\mathrm{A})\geqq k^2+1$ならば，$\mathrm{A}$の最良数または$\mathrm{A}$最悪数のどちらかは$k+1$以上であることを証明せよ．

(3)　要素数が$2014$で，かつ最良数と最悪数が等しいような集合，すなわち，

$n(\mathrm{A})=2014\text{かつ}(\mathrm{A}\text{の最良数})=(\mathrm{A}\text{の最悪数})$

を満たす集合$\mathrm{A}$を考える．このような集合たちの中で最良数が最小となる集合の例を挙げよ．