2014　早稲田大学　政治経済学部MathJax

【１】　次の空欄にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ．

　$\{a_n\}$を，初項$1\text{，}$公差$d$の等差数列とし，

$P_n=r^{a_1}\cdot r^{a_2}\cdot \cdots \cdot r^{a_n}$

と定義する．ただし，$r$は$r>1$を満たす定数である．$P_n$が$P_3=P_9$を満たしているならば，公差$d=\boxed{\text{(ア)}}$である．このとき，$P_n$は，$n=\boxed{\text{(イ)}}$のとき，最大値$\boxed{\text{(ウ)}}$をとる．また，$P_n<1$となる最小の$n$は，$n=\boxed{\text{(エ)}}$である．

【２】　$x‐y$平面の双曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$上の相異なる$3$点を，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とし，その$x$座標を，それぞれ，$a\text{，}b\text{，}c$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　空欄にあてはまる数式を求め，答のみ解答欄に記入せよ．

　直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線の傾きは$\boxed{\text{(ア)}}$である．$▵\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の$x\text{，}y$座標を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表すと，$x=\boxed{\text{(イ)}}\text{，}y=\boxed{\text{(ウ)}}$である．よって，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が双曲線上を動くとき，$\mathrm{H}$の軌跡は$x\text{，}y$の関係式$\boxed{\text{(エ)}}$で表され，$\mathrm{H}$はこの関係式で表される図形上のすべての点を動く．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{P}(x,y)$とする．

(ⅰ)　$\mathrm{P}$の座標$x\text{，}y$を，$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(ⅱ)　$a\text{，}b\text{，}c$が，$a+b=0\text{，}c=1$を満たすとき，$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡を求め，その軌跡を解答欄の$x‐y$平面に図示せよ．

【３】　次の各問に答えよ．ただし，(2)は答のみ解答欄に記入せよ．

(1)　放物線$y=a{x}^2+bx\text{（}a>0\text{）}$と直線$y=mx$が異なる$2$点で交わるとする．原点と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，放物線と直線で囲まれた図形の面積は$S={\displaystyle \frac{1}{6}}a{\left|\alpha \right|}^3$であることを示せ．

(2)　$2$つの放物線$C_1\text{：}y=a_1{x}^2+b_{1}x\text{，}{C}_2\text{：}y=a_2{x}^2+b_{2}x$が異なる$2$点で交わるとする．ただし，$a_1{a}_2<0$とする．

(ⅰ)　放物線$C_1\text{，}{C}_2$の$2$つの交点を通る直線を$l\text{：}y=mx$とするとき，$m$を求めよ．

(ⅱ)　放物線$C_i$と直線$l$で囲まれた図形の面積を$S_i\text{（}i=1\text{，}2\text{）}$とするとき，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を求めよ．

(ⅲ)　$m=1$かつ$S_1=S_2$のとき，$a_i\text{，}{b}_i\text{（}i=1\text{，}2\text{）}$が満たす条件を求めよ．

【４】　$x\text{，}y$を自然数，$p$を$3$以上の素数とするとき，次の各問に答えよ．ただし，(1)，(3)は答のみ解答欄に記入せよ．

(1)　$x^2-y^2=p$が成り立つとき，$x\text{，}y$を$p$で表せ．

(2)　$x^3-y^3=p$が成り立つとき，$p$を$6$で割った余りが$1$となることを証明せよ．

(3)　$x^3-y^3=p$が自然数の解の組$(x,y)$をもつような$p$を，小さい数から順に$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3\text{，}\cdots$とするとき，$p_5$の値を求めよ．