2014　南山大　全学統一入試　2月7日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　放物線$C\text{：}y=x^2-2x-a$と直線$l\text{：}y=ax$が共有点をもたないような$a$の値の範囲を求めると$\boxed{\text{ア}}$である．また，$C$と$l$が$x>0$の範囲に異なる$2$つの交点をもつような$a$の値の範囲を求めると$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$({\log }_{3}16+{\log }_3\sqrt{2})({\log }_{2}27-{\log }_{4}9)$を計算すると$\boxed{\text{ウ}}$である．実数$a\text{，}b$について，$b\geqq 0$と${\log }_2(a-b)-{\log }_4(a+b^2)=0$が成り立つとき，$a$を$b$で表すと$a=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　数直線上を動く点$\mathrm{P}$があり，以下の試行を考える．

「$2$個のサイコロを同時に投げ，出た目の大きい方が偶数のとき，$\mathrm{P}$を正の向きに$2$だけ動かし，出た目の大きい方が奇数のとき，$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ動かす．同じ目が出たときは動かさない．」

はじめに$\mathrm{P}$を原点におき，この試行を$2$回繰り返したときに，$\mathrm{P}$が座標$-1$の位置にある確率を求めると$\boxed{\text{オ}}$である．また，はじめに$\mathrm{P}$を原点におき，この試行を$5$回繰り返したときに，$\mathrm{P}$が座標$1$の位置にある確率を求めると$\boxed{\text{カ}}$である．

【２】　座標平面上の曲線$C\text{：}y=-x^3+x+6$を考える．

(1)　$C$上の点$(t,t^3+t+6)$における$C$の接線を求めよ．

(2)　$C$上の点$(2,0)$を通る$C$の接線をすべて求めよ．

(3)　$a>0$とする．点$(a,0)$を通る$C$の接線の本数を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　多項式$f(x)$を$p(x)=x^2+2x-3$で割った余りは$x+1$である．その商を$g(x)$とし，さらに$g(x)$を$p(x)$で割ると，余りは$x-2$である．このとき，$f(1)=\boxed{\text{ア}}$であり，$f^{\prime }(1)=\boxed{\text{イ}}$である．ここで，$f^{\prime }(x)$は$f(x)$を$x$の関数として微分したものである．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}p$を実数とする．$x$の方程式$x^3-x^2+ax+b=0$の解のうち$2$つが$-p-2i$と$p$であるとき，$p$の値を求めると$p=\boxed{\text{ウ}}$である．また，$a$と$b$の値を求めると$(a,b)=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$x=\cos \theta \text{，}y=\sin \theta$とおく．$\cos 4\theta$を$x$の多項式で表すと$\cos 4\theta =\boxed{\text{オ}}$であり，$\sin 4\theta \cos \theta$を$y$の多項式で表すと$\sin 4\theta \cos \theta =\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$2$つの自然数$m\text{，}n$が$m<n$を満たすとき，$m$から$n$までのすべての自然数の和$S$を$m$と$n$で表すと$S=\boxed{\text{キ}}$である．このとき，$S=808$となる$m$と$n$の組は$(m,n)=\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　袋の中に$1$から$5$までの数字が$1$つずつ書かれた$5$つの玉が入っている．まず$\mathrm{A}$が袋から玉を$1$つ取り出す．その玉を袋に戻さないで，次に$\mathrm{B}$が袋から玉を$1$つ取り出す．$\mathrm{A}$には，$\mathrm{A}$が取り出した玉の数字の$2$倍の得点が与えられ，$\mathrm{B}$には，$\mathrm{B}$が取り出した玉の数字の$3$倍の得点が与えられる．このとき，$\mathrm{A}$の得点の期待値は$\boxed{\text{ケ}}$であり，$\mathrm{A}$の得点が$\mathrm{B}$の得点より大きい確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(3,2)\text{，}$$\mathrm{B}(-1,5)$をとる．線分$\mathrm{AB}$を$s:1-s$$\text{（}0<s<1\text{）}$の比に内分する点を$\mathrm{C}$とする．また，平面上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$\text{（}0<t<1\text{）}$を満たしているとする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$の成分を$s$と$t$で表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{CP}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$が成り立つとき，$s$を$t$で表せ．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{CP}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\perp \overrightarrow{\mathrm{CQ}}$が成り立つとき，$s$と$t$の値を求めよ．

【３】　座標平面上の曲線$C\text{：}y=e^{\frac{x}{2}}$と，原点から$C$に引いた接線$l$がある．$C$と$l$と$y$軸とで囲まれた図形$D$を考える．

(1)　$C$と$l$の接点$\mathrm{P}$の座標を求め，$l$の方程式を求めよ．

(2)　同じ座標平面上に$C$と$l$をかけ．

(3)　$D$の面積$S$を求めよ．

(4)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．