2014　南山大　人文・総合政策Ｂ2月11日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$a$を実数とするとき，不等式$x^2-2ax+2a^2+a-1>0$がすべての実数$x$に対して成り立つような$a$の値の範囲を求めると$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$n$を整数とするとき，${\displaystyle \frac{3n-2}{5}}$より大きな整数のうち最小のものが$6$となるような$n$の値をすべて求めると$n=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　複素数$z={\displaystyle \frac{2-i}{1+i}}$について，$z^2-z$を計算すると$z^2-z=\boxed{\text{ウ}}$である．さらに，$z^4-2z^3+3z^2-3z$を計算すると$z^4-2z^3+3z^2-3z=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$a>0$とし，$x>0$において$y=({\log }_{10}a{x}^2)({\log }_{10}{\displaystyle \frac{a}{x}})$を考える．$t={\log }_{10}x\text{，}b={\log }_{10}a$として$y$を$t$と$b$で表すと$y=\boxed{\text{オ}}$である．また，$x$の方程式$({\log }_{10}a{x}^2)({\log }_{10}{\displaystyle \frac{a}{x}})=1$が異なる$2$つの解$\alpha \text{，}\beta$をもつとき，$\alpha \beta$を$a$で表すと$\alpha \beta =\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,6)\text{，}\mathrm{B}(1,3)\text{，}\mathrm{C}(4,2)$を考える．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る円の半径$r$を求めると$r=\boxed{\text{キ}}$である．また，点$\mathrm{A}$を通る直線が，この円と$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{P}$で交わり，$\mathrm{AP}=\sqrt{2}r$となるとき，この直線の傾き$k$を求めると$k=\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　$a>0$とし，関数$f(x)=x^3-3a{x}^2+2a^3+2a+1$を考える．

(1)　方程式$f^{\prime }(x)=0$の解を求めよ．

(2)　$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(3)　$x\geqq -1$における$f(x)$の最小値$m$を求めよ．

(4)　$a$が$a>0$の範囲を動くとき，(3)の$m$の最大値を求めよ．