2014　南山大　数理情報Ｂ2月11日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -2\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 1& -2\end{array}\right)$に対して，$AP$を求めると，$AP=\boxed{\text{ア}}$である．$P$が逆行列をもつとき，$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}b& 0\\ 0& c\end{array}\right)$となるような$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めると，$(a,b,c)=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$a$を実数とし，$x$の関数$y=|x^2-2x-a|$を考える．この関数のグラフが$x$軸と共有点をもたないとき，$a$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ウ}}$である．また，$0\leqq x\leqq 3$の範囲での$y$の最大値が$x=3$において与えられるとき，$a$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　数列$\{a_n\}$が$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{3a_n+1}{a_n+3}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を満たしている．$b_n={\displaystyle \frac{a_n-1}{a_n+1}}$とおくとき，$b_{n-1}$を$b_n$で表すと$b_{n+1}=\boxed{\text{オ}}$であり，数列$\{a_n\}$の一般項を求めると$a_n=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$p$を$0$でない実数とし，$x$の方程式$3e^x-2e^{-x}={\displaystyle \frac{3}{p}}{e}^x+2p{e}^{-x}\cdots \text{①}$を考える．$p=2$のとき，方程式$\text{①}$を解くと$x=\boxed{\text{キ}}$である．また，方程式$\text{①}$が解をもつような$p$の値の範囲は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$1$から$9$までの数字を$1$つずつ書いた$9$枚のカードが$2$組，合計$18$枚ある．この$18$枚のカードから同時に$4$枚を取り出したとき，同じ数字のカードが$2$組ある確率は$\boxed{\text{ケ}}$であり，同じ数字のカードが$1$組だけある確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　座標空間に，頂点が$\mathrm{P}\text{，}$底面が正方形$\mathrm{ABCD}\text{，}4$つの側面がすべて正三角形の正四角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$があり，各辺の長さは$5$である．

(1)　$\angle \mathrm{APC}$の大きさを求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$から底面$\mathrm{ABCD}$に下ろした垂線と底面との交点を$\mathrm{H}$とするとき，線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{D}$の座標をそれぞれ$\mathrm{A}(0,0,0)\text{，}\mathrm{B}(4,0,-3)\text{，}\mathrm{D}(0,q,r)\text{（}q>0\text{）}$とするとき，$q$と$r$の値を求め，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(4)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{D}$が(3)で与えられるとき，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{P}$の$z$座標は正とする．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{2e}}-\log {\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{e}}\text{（}x>0\text{）}$を考える．

(1)　$f(2)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)dx$を求めよ．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_1^{2x}}|f(x)|dx$を求めよ．