2014　南山大　外国語・法2月12日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　関数$f(x)=|x^2-10x+18|$を考える．$f(x)=7$を満たす$x$の値を求めると$x=\boxed{\text{ア}}$である．また，$a$を実数とするとき，$f(x)$の$a\leqq x\leqq a+4$における最大値が$7$となるような$a$の値の範囲を求めると$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$a>0$とする．放物線$y=x^2$と円${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=b^2$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもち，$\mathrm{P}$と円の中心を通る直線の傾きが$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとき，$\mathrm{P}$の座標$(x,y)$を求めると$(x,y)=\boxed{\text{ウ}}$であり，$a$と$b$の値を求めると$(a,b)=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の各辺の長さが$2$のとき，辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{E}$を

$\mathrm{CE}:\mathrm{ED}=2:3$

となるようにとり，直線$\mathrm{AE}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．対角線$\mathrm{BD}$の長さを$x$とするとき，$▵\mathrm{ABD}$の面積$S$を$x$で表すと$S=\boxed{\text{オ}}$であり，$▵\mathrm{ECP}$の面積が${\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{15}}$であるとき，$x$の値を求めると$x=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　実数$x\text{，}y$は$0\leqq x<2\pi \text{，}0\leqq y<2\pi \text{，}\sin x+\cos y=\cos x\sin y$を満たす．$\sin x+\cos y=0$のとき，$x$と$y$の値を求めると$(x,y)=\boxed{\text{キ}}$であり，$\sin x+\cos y={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$\sin x\cos y$の値を求めると$\sin x\cos y=\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　座標平面上に曲線$C\text{：}y=-x^2+1$と点$\mathrm{P}(a,3a^2+1)$がある．ただし，$a>0$とする．$\mathrm{P}$を通る$C$の$2$本の接線のうち，$C$との接点の$x$座標が小さい方を$l_1$とし，$C$と$l_1$の接点を$\mathrm{Q}$とする．また，$l_1$と$\mathrm{Q}$で垂直に交わる直線を$l_2$とする．

(1)　$l_1$の方程式を求めよ．

(2)　$l_2$の方程式を求めよ．

(3)　$C$と$l_1$と直線$x=a$とで囲まれる部分の面積$S_1$を求めよ．

(4)　$C$と$l_2$と直線$x=a$とで囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_2$と(3)の$S_1$に対して，$S_2=2S_1$が成り立つような$a$の値を求めよ．