2014 同志社大 理系学部2月4日実施MathJax

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2014 同志社大学 文化情報学部理系,理工学部,生命医科学部理系,心理学部理系,スポーツ健康科学部理系

全学部日程2月4日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の   に適する数または式を,解答用紙の同じ記号の付いた   の中に記入せよ.

 袋の中に 1 から 9 までの数字が 1 つずつ書かれた 9 個の球が入っている.この袋から球を 1 個取り出し,取り出した球の数字を調べて袋に戻すことを 2 回行うとき,取り出した球に書かれた数字のうちの最大値を X とする. X 3 以下となる場合の数は 通りである.また, X 4 以下となる場合の数は 通りである. X 3 となる場合の数は, 通りあるので, X 3 と等しくなる確率は である.したがって, i=1 2 3 9 に対して, X i と等しくなる確率は であり, X の期待値は である.

 次に,この袋から球を 1 個取り出し,取り出した球の数字を調べて袋に戻すことを k 回行うとき( k は自然数),取り出した球に書かれた数字のうちの最大値を Y とする. Y j j =1 2 3 9 以下となる場合の数は 通りであり, Y j と等しくなる場合の数は 通りである.したがって, Y j と等しくなる確率は であり, Y の期待値は 9 - 19k j=1 8 である.

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全学部日程2月4日実施

易□ 並□ 難□

【2】 座標空間内の球面 x2+ y2+ z2= 9 上に 3 A ( 3,0, 0) B ( 2,1, 2) C ( 1,-2 ,2) をとる.次の問いに答えよ.

(1)  ABC の面積を求めよ.

(2)  3 A B C を通る平面に,原点 O から下ろした垂線の足 H の座標を求めよ.

(3) 球面上を動く点 P を頂点とする四面体 PABC を考え,その体積を V とする. V の最大値と,そのときの点 P の座標を求めよ.

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全学部日程2月4日実施

易□ 並□ 難□

【3】 曲線 C y= ( logx )2 + 34 x>0 について,以下の問いに答えよ.

(1)  dy dx d2 y dx2 を求めよ.また, dy dx >0 となる x の範囲を求めよ.

(2) 曲線 C の接線で原点 ( 0,0 ) を通るものを求めよ.

(3) 曲線 C の概形と(2)で求めた接線を描け.

(4) (2)で求めた接線の中で傾きが最大のものと曲線 C との接点を P とする.点 P の座標を求めよ.

(5) (4)で求めた点 P を通り x 軸に平行な直線と曲線 C で囲まれた図形の面積 S を求めよ.

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全学部日程2月4日実施

易□ 並□ 難□

【4】 曲線 C1 y=1- 1 2 x 2 上を動く点 P の座標を ( x0, y0 ) とする.点 P における曲線 C 1 の法線上にあり,点 P からの距離が 1 の点で y >1- 1 2 x 2 を満たす点を Q ( x1, y1 ) とする.また, 2 P Q を通る直線が x 軸の正の向きとなす角を θ 0 <θ< π とする.次の問いに答えよ.

(1)  θ π 2 のとき, tanθ x 0 を用いて表せ.

(2)  x0 y 0 cos θ sin θ を用いて表せ.

(3)  x1 y 1 cos θ sin θ を用いて表せ.また, y1 =0 となるときの θ の値を求めよ.

(4) 曲線 C 1 上を点 P が動くとき,点 Q が描く曲線を C 2 とする.曲線 C 2 x 軸が囲む図形の面積 S を求めよ.

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