2014　同志社大　文系学部2月5日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$a\text{，}b$を定数とする．$3$次式$f(x)=x^3+a{x}^2+bx-4a+2b+8$を$x+3$で割ると$-10$余り，$x^2+6x+9$で割ると$14x+32$余る．このとき$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}$であり，$3$次方程式$f(x)=0$は実数解$\boxed{\text{ウ}}$をもつ．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$t$を実数とする．$F(t)={\displaystyle {\int }_t^{t+1}}(x^2-2tx+3)dx$について，$F(1)$の値は$\boxed{\text{エ}}$である．また，関数$F(t)$の導関数$F^{\prime }(t)$は，$1$次式$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(3)　$n$を$2$以上の整数とし，$k$を$2\leqq k\leqq n$を満たす整数とする．集合$\{1,2,3,\cdots ,n\}$を互いに共通部分を持たない$k$個の空でない集合に分ける場合の数を$S_k$とおく．$n=3$のとき$S_2=\boxed{\text{カ}}$であり，$S_3=\boxed{\text{キ}}$である．また，$n=4$のとき$S_2=\boxed{\text{ク}}$であり，$S_3=\boxed{\text{ケ}}$である．$2$以上の整数$n$に対して$S_2$は$n$を用いて$\boxed{\text{コ}}$と表すことができる．

【２】　座標平面上で，不等式$|x-3|+|y-3|\leqq 2$で表される領域を$D$とするとき次の問いに答えよ．

(1)　領域$D$を座標平面上に図示せよ．

(2)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき$2x+y$の最大値を求めよ．またこのときの$x$と$y$の値を求めよ．

(3)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき$x^2+y^2-4x-2y$の最大値を求めよ．またこのときの$x$と$y$の値を求めよ．

(4)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき${\displaystyle \frac{y-1}{x+2}}$の取り得る値の範囲を求めよ．

【３】　$n$を正の整数とし，数列$\{a_n\}$は初項$a_1=1$であり，関係式

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{n^2+2n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．また，正の整数$n$に対して，数列$\{S_n\}$を$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$で定める．このとき次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}}$を$n$を用いて表せ．

(2)　$S_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

(4)　数列$\{T_n\}$を

$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k+2}}{a}_k\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．このとき，一般項$T_n$を$n$を用いて表せ．また，すべての正の整数$n$に対して不等式${\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq T_n<{\displaystyle \frac{1}{2}}$が成り立つことを示せ．